Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 6/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Entwerfe einen Termstammbamm für den Term

wie in Beispiel 6.7.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die arithmetische Grundtermmenge, die aus den Konstanten und , den Variablen , , dem einstelligen Funktionssymbol und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen und besteht. Entscheide, ob die folgenden Wörter über diesem Termalphabet Terme sind oder nicht.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Schreibe diejenigen Wörter, die Terme sind, mit Klammern, , und .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien Variablen und ein zweistelliges Funktionssymbol. Welche der folgenden Wörter sind Terme?

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. ,
  11. ,
  12. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Erläutere den Unterschied zwischen und in Definition 6.6.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Variablenmenge, eine Konstantenmenge und eine Menge aus Funktionssymbolen (mit einer gewissen Stelligkeit). Es sei

das zugehörige Alphabet. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Alphabet nicht leer sei. Zeige, dass es nichtleere Wörter über gibt, die keine Terme sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Grundtermmenge und ein -Term. Es sei das am weitesten links stehende Symbol von und das am weitesten rechts stehende Symbol von . Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Wenn eine Variable oder eine Konstante ist, so ist .
  2. ist eine Variable oder eine Konstante.
  3. Wenn und Terme sind, so ist kein Term.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Grundtermmenge und ein -Term. Es sei die Gesamtzahl der Variablen und Konstanten in , wobei mehrfaches Vorkommen auch mehrfach gezählt wird. Es sei die Summe über alle Stelligkeiten der in vorkommenden Funktionssymbole, wobei wiederum mehrfach auftretende Symbole auch mehrfach gezählt werden.

  1. Bestimme und im Term
    wobei einstellig, zweistellig und dreistellig sei.
  2. Es sei weder eine Variable noch eine Konstante. Zeige .
  3. Zeige, dass die Differenz beliebig groß sein kann.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere, ob es sich bei

um Terme handelt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein zweistelliges Funktionssymbol und Variablen. Formuliere das Kommutativgesetz (für ) als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und eine Variablenmenge. Eine Grundtermmenge sei durch als Konstantenmenge, als Variablenmenge und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen und festgelegt. In welcher Beziehung steht die Termmenge zum Polynomring .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Termmenge zur Konstantenmenge , zur Variablenmenge , und zur zweistelligen Funktionssymbolmenge . Definiere eine natürliche Abbildung von in den Polynomring . Ist diese Abbildung injektiv? Ist sie surjektiv? Was ist das Bild?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Für Punkte in der Ebene bedeute die Rechtwinkligkeit des durch gegebenen Dreiecks an der Ecke und die pythagoreische Längenbeziehung. Betrachte die beiden formalen Aussagen

und

Welche ist (sind) eine Formalisierung des Satzes von Pythagoras, welche ist (sind) wahr?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere mit arithmetischen Grundsymbolen, Gleichheit, Quantoren und Junktoren die Eigenschaft (das Prädikat) einer natürlichen Zahl, gerade oder ungerade zu sein. Formuliere ebenso die Aussage, dass jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist. Formuliere ferner die Aussage, dass zu jeder natürlichen Zahl die Zahl gerade ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Grundtermmenge sei durch die Variablenmenge , eine Konstantenmenge , die einstelligen Funktionssymbole und die zweistelligen Funktionssymbole gegeben. Entwerfe einen Termstammbaum für den Term


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein zweistelliges Funktionssymbol und Variablen. Formuliere das Assoziativgesetz (für ) als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Grundtermmenge sei durch eine einelementige Konstantenmenge , eine leere Variablenmenge und eine einelementige einstellige Funktionssymbolmenge

gegeben. Zeige durch Induktion, dass es eine bijektive Abbildung

mit und für alle gibt.


Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 6.18 ändern

Zeige, dass es kein gleichseitiges Dreieck im gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

Tipp: Verwende, dass irrational ist und den Satz des Pythagoras.