Kurs:Elementare Algebra/T1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	4	4	3	3	4	3	2	4	2	5	4	2	4	4	2	3	12	65

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe ${}G$.
2. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
3. Ein Nichtnullteiler ${}a$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein Körper ${}K$.
5. Die komplexe Konjugation.
6. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
7. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
8. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$ für Elemente ${}a,b\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
3. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
4. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und ${}2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und ${}2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}x,y\in R$ Elemente in einem kommutativen Ring ${}R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu

${}Rx\subseteq Ry\,$

äquivalent.

1. ${}x$ teilt ${}y$.
2. ${}x$ wird von ${}y$ geteilt.
3. ${}y$ wird von ${}x$ geteilt.
4. ${}x$ ist ein Vielfaches von ${}y$.
5. ${}x$ ist ein Vielfaches von ${}x$.
6. ${}y$ teilt ${}x$.
7. ${}Rx\cap Ry=Rx$.
8. Jedes Vielfache von ${}y$ ist auch ein Vielfaches von ${}x$.
9. Jeder Teiler von ${}y$ ist auch ein Teiler von ${}x$.
10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Teiler von ${}X$ im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${}S_{n}$ zu einer Menge mit ${}n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${}S_{n}$ Elemente der Ordnung ${}n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${}n$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}5$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$

Aufgabe * (12 (3+5+3+1) Punkte)

Es seien ${}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe und sei

${}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,$

der Produktring.

1. Es seien

   $I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

   ein Ideal in ${}R$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${}I\subseteq R$ die Form

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   mit Idealen ${}I_{j}\subseteq R_{j}$ besitzt.

3. Es sei

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${}I_{j}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle ${}R_{j}$ Hauptidealringe sind.