Kurs:Elementare Algebra/T1/Klausur

From Wikiversity
Jump to navigation Jump to search


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 3 3 4 3 2 4 2 5 4 2 4 4 2 3 12 65



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gruppe .
  2. Der Binomialkoeffizient .
  3. Ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring .
  4. Ein Körper .
  5. Die komplexe Konjugation.
  6. Ein Primelement , in einem kommutativen Ring .
  7. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  8. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für für Elemente in einem kommutativen Ring .
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
  4. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Elemente in einem kommutativen Ring . Welche der folgenden Formulierungen sind zu

äquivalent.

  1. teilt .
  2. wird von geteilt.
  3. wird von geteilt.
  4. ist ein Vielfaches von .
  5. ist ein Vielfaches von .
  6. teilt .
  7. .
  8. Jedes Vielfache von ist auch ein Vielfaches von .
  9. Jeder Teiler von ist auch ein Teiler von .
  10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * (12 (3+5+3+1) Punkte)

Es seien kommutative Ringe und sei

der Produktring.

  1. Es seien

    Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

    ein Ideal in ist.

  2. Zeige, dass jedes Ideal die Form

    mit Idealen besitzt.

  3. Sei

    ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.

  4. Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.