Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 9

Aufgaben

Aufgabe

Zeige, dass in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ die Beziehungen ${}S^{2}=-\operatorname {Id}$ und ${}(ST)^{3}=-\operatorname {Id}$ gelten.

Aufgabe *

Wir betrachten die Matrizen ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ aus ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}ST\neq T^{n}S\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {Z}$.

2. Die von ${}T$ erzeugte Untergruppe in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ ist kein Normalteiler.

Aufgabe

Zeige, dass in der Modulgruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\pm \operatorname {Id}$ die Relationen ${}S^{2}=\operatorname {Id}$ und ${}(ST)^{3}=\operatorname {Id}$ gelten.

Aufgabe *

Zeige, dass durch die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Modulsubstitution eine Gruppenoperation auf der oberen Halbebene ist.

Aufgabe *

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 3+{\mathrm {i} },-1+2{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 3+7{\mathrm {i} },2-5{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle {\sqrt {5}}+{\mathrm {i} },3-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 1,-e+\pi {\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subseteq {\mathbb {C} }$.
2. ${}\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in ${}\mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\mathrm {i} }\subseteq {\mathbb {C} }$.
3. ${}\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$ mit ${}\tau \in D$ und ${}\tau \in \mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$

eine bijektive ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung und sei ${}\Gamma \subset {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe

${\overline {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\varphi (\Gamma )$

induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.