Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 9

Aufgaben

Aufgabe

Zeige, dass in ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$ mit  $S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$  und  $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$  die Beziehungen  $S^2=-\mathrm{Id}$  und  $(ST{)}^3=-\mathrm{Id}$  gelten.

Aufgabe *

Wir betrachten die Matrizen  $S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$  und  $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$  aus ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   $ST\ne T^{n}S$

   für alle  $n\in \mathbb{Z}$. 

2. Die von $T$ erzeugte Untergruppe in ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$ ist kein Normalteiler.

Aufgabe

Zeige, dass in der Modulgruppe ${\mathrm{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)/\pm \mathrm{Id}$ die Relationen  $S^2=\mathrm{Id}$  und  $(ST{)}^3=\mathrm{Id}$  gelten.

Aufgabe *

Zeige, dass durch die Abbildungen

$\phi :ℍ⟶U(0,1),z⟼\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}},$

und

$\psi :U(0,1)⟶ℍ,w⟼\frac{(w+1)\mathrm{i}}{1-w},$

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene $ℍ$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U(0,1)$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Modulsubstitution eine Gruppenoperation auf der oberen Halbebene ist.

Aufgabe *

Finde für das Gitter  $\Gamma =⟨3+\mathrm{i},-1+2\mathrm{i}⟩$  das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $⟨1,\tau ⟩$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter  $\Gamma =⟨3+7\mathrm{i},2-5\mathrm{i}⟩$  das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $⟨1,\tau ⟩$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter  $\Gamma =⟨\sqrt{5}+\mathrm{i},3-\sqrt{2}\mathrm{i}⟩$  das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $⟨1,\tau ⟩$ ist.

Aufgabe

Finde für das Gitter  $\Gamma =⟨1,-e+\pi \mathrm{i}⟩$  das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $⟨1,\tau ⟩$ ist.

Aufgabe

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter in $ℂ$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in  $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\mathrm{i}\subseteq ℂ$. 
2. $\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in  $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\mathrm{i}\subseteq ℂ$. 
3. $\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ mit  $\tau \in D$  und  $\tau \in \mathbb{Q}+\mathbb{Q}\mathrm{i}$. 

Aufgabe

Es sei

$\phi :ℂ\cong {ℝ}^2⟶ℂ\cong {ℝ}^2$

eine bijektive $ℝ$-lineare Abbildung und sei  $\Gamma \subset ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass $\phi$ einen Diffeomorphismus und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe

$\bar{\phi }:ℂ/\Gamma ⟶ℂ/\phi (\Gamma )$

induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.