Kurs:Funktionentheorie/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	4	5	5	4	0	6	2	3	5	4	2	0	4	0	52

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$.
2. Die geometrische Reihe für ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Die ${}t$-Norm einer Potenzreihe.
4. Eine Laurent-Reihe.
5. Ein kontrahierbarer topologischer Raum ${}X$.
6. Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
2. Der Integralsatz von Cauchy.
3. Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion mit

${}f(z)=(g(z))^{k}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige

${}g'(z)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {1}{(g(z))^{k-1}}}\cdot f'(z)\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings ${}K[\![T]\!]$.

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

   ${}f(x)=x^{2}\,$

   im Entwicklungspunkt ${}1$.

2. Es sei

   ${}g(y)={\sqrt {y}}\,$

   und es sei

   ${}b_{0}+b_{1}(y-1)+b_{2}(y-1)^{2}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(y-1)^{k}\,$

   die Taylorreihe zu ${}g$ im Entwicklungspunkt ${}1$. Bestimme die Koeffizienten ${}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ aus der Gleichung

   ${}g(f(x))=x\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige

${}d(df)=0\,,$

wobei ${}d$ die äußere Ableitung bezeichnet.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf der punktierten Kreisscheibe ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ derart, dass ${}0$ ein Häufungspunkt der Nullstellen von ${}f$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{4}-2z^{2}+1,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei

${}S={\left\{(x,y)\mid y\leq f(x)\right\}}\,$

der nach unten offene Subgraph der Funktion. Zeige, dass ${}S$ einfach zusammenhängend ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}P=z^{2}+z+1\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Repräsentanten für ein Gitter unter Streckungsäquivalenz.

Aufgabe (0 Punkte)