Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 5/latex
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Zu den wichtigsten Sätzen aus der Analysis 2 gehören der Satz über die Umkehrabbildung und der Satz über implizite Abbildungen, an deren reelle Versionen wir erinnern und für die wir die komplexen Versionen formulieren.
\zwischenueberschrift{Der Satz über die Umkehrabbildung}
\inputfakt{Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {V_2
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathdisp {\left(D\varphi\right)_{P}} { }
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ \subseteq }{ V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (P)
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $\varphi$ eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{ U_1 }} {U_1} {U_2} {}
induziert, und dass die Umkehrabbildung
\maabbdisp {( \varphi {{|}}_{ U_1 } )^{-1}} {U_2} {U_1
} {}
ebenfalls stetig differenzierbar ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Dieser Satz wird oft nur in der reellen Situation formuliert und bewiesen, doch gilt er genau so in der komplexen Situation, und zwar kann man die komplexe Situation auf die reelle zurückführen.
\inputfaktbeweis
{Satz über die Umkehrabbildung/C/Stetig differenzierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {V_2
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathdisp {\left(D\varphi\right)_{P}} { }
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ \subseteq }{ V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (P)
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $\varphi$ eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{ U_1 }} {U_1} {U_2} {}
induziert, und dass die Umkehrabbildung
\maabbdisp {( \varphi {{|}}_{ U_1 } )^{-1}} {U_2} {U_1
} {}
ebenfalls stetig differenzierbar ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verwenden die reelle Situation, also
Satz 5.1.
Wir fassen die die komplexen Vektorräume
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
als reelle Vektorräume auf und wir fassen die komplex stetig differenzierbare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {U} {V_2
} {,}
die die Voraussetzungen des Satzes im Punkt $P$ erfüllt, als eine reell stetig differenzierbare Abbildung auf. Dabei gilt die Voraussetzung über die Bijektivität des totalen Differentials auch in der reellen Situation, da ja das komplexe totale Differential mit dem reellen totalen Differential übereinstimmt. Es gibt also offene Umgebungen $U_1$ von $P$ und $U_2$ von $\varphi(P)$ derart, dass die Einschränkung
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} { U_2
} {}
bijektiv ist und die Umkehrabbildung
\maabbdisp {{ \left( \varphi{{|}}_{U_1 } \right) }^{-1}} {U_2} { U_1
} {}
ebenfalls reell stetig differenzierbar ist. Da das totale Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} eine komplex-lineare Abbildung beschreibt, gilt dies auch für die lineare Umkehrabbildung davon, die ja nach dem Satz das
\zusatzklammer {reelle} {} {}
totale Differential von $\varphi {{|}}_{U_1}$, also
\mathl{\left(D { \left( \varphi {{|}}_{U_1} \right) }^{-1}\right)_{ \varphi(P) }}{} ist. Die Umkehrabbildung ist also in $\varphi(P)$ auch komplex total differenzierbar.
Wir nennen eine bijektive holomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {biholomorph} {,} der Satz behauptet also, dass eine komplex-differenzierbare Abbildung, wenn das totale Differential in einem Punkt bijektiv ist, dort auf einer offenen Umgebung bereits eine biholomorphe Abbildung induziert. Schon die eindimensionale Situation von diesem Satz ist eine starke Aussage. Wir formulieren sie direkt für holomorphe Funktionen.
\inputfaktbeweis
{Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ \in }{ W
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $V$
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
zu $W$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist der eindimensionale Spezialfall von Satz 5.2.
Dies bedeutet insbesondere, dass eine holomorphe Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
in einer offenen Umgebung eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt dies nicht, siehe
Aufgabe 5.1
und insbesondere die allgemeine Aussage
Lemma 15.10.
Die folgende Aussage, eine erste Version des Offenheitssatzes, werden wir in
Satz 15.8
weitgehend verallgemeinern.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen }{}{} $X$ und $Y$ heißt \definitionswort {offen}{,} wenn \definitionsverweis {Bilder}{}{} von \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{} wieder offen sind.
}
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Offen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ eine
\definitionsverweis {offene Abbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir müssen für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen, dass
\mathl{f(U')}{} offen ist. Da für $U'$ die gleichen Voraussetzungen gelten, genügt es, direkt $f(U)$ zu betrachten. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ f(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Korollar 5.3
gibt es offene Umgebungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Einschränkung eine Bijektion zwischen $U_1$ und $U_2$ ergibt. Insbesondere liegt also $U_2$ innerhalb des Bildes von $U$ und somit haben wir innerhalb von $f(U)$ eine offene Umgebung von $Q$ gefunden.
\inputbemerkung
{}
{
Es ist im Allgemeinen schwierig, für eine komplex differenzierbare Abbildung
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine explizite offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U_1
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der $f$ eine
\definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2
} {}
induziert, anzugeben, und ebenso, die lokale Umkehrabbildung explizit zu beschreiben. Die Ableitung der Umkehrabbildung in $f(P)$ ist einfach
\mathl{{ \frac{ 1 }{ f'(P) } }}{.} Eine notwendige Bedingung an $U_1$ ist, dass darin $f'$ keine Nullstelle besitzen darf.
Wenn $f$ in der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g+h { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt und das reelle
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) \\ { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (Q) \end{pmatrix}} { }
besitzt, wobei die Symmetriebedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q)
}
{ = }{ { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q)
}
{ = }{ - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Satz 3.5
erfüllt sind, so ist die reelle Umkehrmatrix direkt durch
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left(Df^{-1}\right)_{f(Q)}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (Q) - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (Q) { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) } } \begin{pmatrix} { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (Q) & -{ \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) \\ - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) \right) }^2 + { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) \right) }^2 } } \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) & -{ \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) \\ { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) & { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
gegeben, die natürlich wieder die Symmetriebedingungen erfüllt. Gesucht ist daher eine Funktion
\mathl{\alpha + \beta { \mathrm i}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial \alpha }{ \partial x } } (f(Q))
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) \right) }^2 + { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) \right) }^2 } } \cdot { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial \alpha }{ \partial y } } (f(Q))
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (Q) \right) }^2 + { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q) \right) }^2 } } \cdot { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und entsprechenden Bedingungen an $\beta$, doch sind diese schwierig zu bestimmen.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{.}
Dann erfüllt die komplexe Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \left( \sigma \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem Vorzeichen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } b \geq 0 \, , \\ -1 \text{ falls } b < 0 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w^2
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
bzw.
Aufgabe 5.12
und
Aufgabe 5.13.
Wir betrachten die durch die erste Vorschrift gegebene Funktion $\psi$ auf der durch die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen offenen Teilmenge, also auf der
\definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{.}
Es ist also
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb H} } { {\mathbb C}
} { a+b { \mathrm i} } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a } \right) }
} {.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Radikanden stets positiv und daher ist $\psi$ reell stetig differenzierbar.
Für die partiellen Ableitungen von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(a,b)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(a,b)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \frac{ \partial g }{ \partial a } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ a^2 +b^2 } +a \right) }^{- 1/2} { \left( a { \left( a^2+b^2 \right) }^{- 1/2} +1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ { \frac{ a }{ \sqrt{a^2+b^2} } } +1 }{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ a + \sqrt{a^2+b^2} }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } }{ \sqrt{a^2+b^2} } }
}
}
{}
{}{,}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \frac{ \partial g }{ \partial b } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ a^2 +b^2 } +a \right) }^{- 1/2} { \left( b { \left( a^2+b^2 \right) }^{- 1/2} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ { \frac{ b }{ \sqrt{ a^2+b^2} } } }{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ b \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } -a } }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } + a } \cdot \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } -a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ b \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } -a } }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{ a^2 +b^2 -a^2 } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } -a } }{ \sqrt{a^2+b^2} } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \frac{ \partial h }{ \partial a } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ a^2 +b^2 } -a \right) }^{- 1/2} { \left( a { \left( a^2+b^2 \right) }^{- 1/2} - 1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ { \frac{ a }{ \sqrt{a^2+b^2} } } -1 }{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } - a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ a - \sqrt{a^2+b^2} }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } - a } } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ \sqrt{a^2+b^2} -a }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } - a } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } - a } }{ \sqrt{a^2+b^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{,}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \frac{ \partial h }{ \partial b } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ a^2 +b^2 } -a \right) }^{- 1/2} { \left( b { \left( a^2+b^2 \right) }^{- 1/2} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ { \frac{ b }{ \sqrt{a^2+b^2} } } }{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } -a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ b \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } -a } \cdot \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ b \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{ a^2 +b^2 -a^2 } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2} } } \cdot { \frac{ \sqrt{ \sqrt{ a^2 +b^2 } +a } }{ \sqrt{a^2+b^2} } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt und somit ist $\psi$ komplex differenzierbar. Als Umkehrabbildung zu einer komplex differenzierbaren Abbildung ist das auch klar, zumindest auf dem Ort, wo eine Umkehrabbildung vorliegt. Nach
Aufgabe 5.14
und
Aufgabe 5.15
liegt eine Bijektion zwischen ${\mathbb H}$ und dem offenen Quadranten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ { \left\{ x+y { \mathrm i} \mid x,y>0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor.
}
\zwischenueberschrift{Der Satz über implizite Abbildungen}
\inputfakt{Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ \varphi^{-1}(\varphi( P))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser durch}{}{}
$P$.}
\faktvoraussetzung {Das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P }}{} sei
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Menge
\mathbed {P \in W} {}
{W \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ \R^{n-m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine stetig differenzierbare Abbildung
\maabbdisp {\psi} {V} {W
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(V)
}
{ \subseteq }{ Z \cap W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und $\psi$ eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {\psi} {V} {Z \cap W
} {}
induziert.}
\faktzusatz {Die Abbildung $\psi$ ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
und für das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
von $\psi$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{ \psi(Q)} \circ \left(D\psi\right)_{Q}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Satz über implizite Abbildungen/C/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {{\mathbb C}^m
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ \varphi^{-1}(\varphi( P))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser durch}{}{}
$P$.}
\faktvoraussetzung {Das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P }}{} sei
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Menge
\mathbed {P \in W} {}
{W \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^{n-m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine stetig differenzierbare Abbildung
\maabbdisp {\psi} {V} {W
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(V)
}
{ \subseteq }{ Z \cap W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und $\psi$ eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {\psi} {V} {Z \cap W
} {}
induziert.}
\faktzusatz {Die Abbildung $\psi$ ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
und für das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
von $\psi$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{ \psi(Q)} \circ \left(D\psi\right)_{Q}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Der Satz behauptet insbesondere, dass die Faser lokal in Bijektion zu einer offenen Menge des ${\mathbb C}^{n-m}$ steht. Man kann aber nicht sagen, dass die Faser lokal biholomorph zum ${\mathbb C}^{n-m}$ ist, da wir keine holomorphe Struktur auf der Faser erklärt haben
\zusatzklammer {dies wird im Rahmen der riemannschen Flächen bzw. der komplexen Mannigfaltigkeiten gemacht} {} {.}
Für die Funktionentheorie in einer Variablen ist bereits der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entscheidend. Die Stärke der Aussage zeigt sich in der folgenden Anwendung über die Existenz von Wurzeln aus Funktionen, die in
Korollar 23.11
wesentlich verallgemeinert wird.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Wert nicht 0/Wurzeln/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine holomorphe Funktion
\maabb {h} {V} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ h^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die holomorphe Funktion
\maabbeledisp {\varphi} {U \times {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {(z,w)} { f(z)-w^k
} {,}
in zwei Variablen, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q^k
}
{ = }{ f(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P,Q)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung $\varphi$ besitzt die partiellen Ableitungen
\mathkor {} {f'(z)} {und} {k w^{k-1}} {.}
Im Punkt
\mathl{(P,Q)}{} ist definitiv die zweite partielle Ableitung $\neq 0$, daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann
\zusatzklammer {eine explizite Version von} {} {}
Satz 5.9
anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte holomorphe Funktion
\maabbeledisp {} {V} { {\mathbb C}^2
} {z} { (z,h(z))
} {,}
die auf der Faser von $\varphi$ über $0$ liegt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(P)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( z, h(z))
}
{ =} { f(z)- h(z)^n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(z)^n
}
{ = }{ f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Aussage kann man auch aus dem Satz über die Umkehrabbildung direkt ableiten, siehe
Aufgabe 5.22.
Da es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$k$ verschiedene komplexe Zahlen $Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q^k
}
{ = }{ f(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, gibt es auch $k$ verschiedene Funktionen $h$, die lokal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^k
}
{ = }{ f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das Polynom
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { z^3-5z^2+4z-1
} {.}
Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(2)
}
{ = }{ -5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
daher können wir
Satz 5.10
anwenden, beispielsweise für die dritte Wurzel. Es gibt also eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine holomorphe Funktion
\maabb {h} {V} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^3
}
{ = }{ f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In einem gewissen Sinn ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h
}
{ =} { \sqrt[3]{f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei man aber immer beachten muss, dass dadurch $h$ nicht eindeutig festgelegt ist.
}