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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 5

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Zu den wichtigsten Sätzen aus der Analysis 2 gehören der Satz über die Umkehrabbildung und der Satz über implizite Abbildungen, an deren reelle Versionen wir erinnern und für die wir die komplexen Versionen formulieren.



Der Satz über die Umkehrabbildung

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und es sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

induziert, und dass die Umkehrabbildung

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Dieser Satz wird oft nur in der reellen Situation formuliert und bewiesen, doch gilt er genau so in der komplexen Situation, und zwar kann man die komplexe Situation auf die reelle zurückführen.


Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, sei offen und es sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

induziert, und dass die Umkehrabbildung

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Wir verwenden die reelle Situation, also Satz 5.1. Wir fassen die die komplexen Vektorräume und als reelle Vektorräume auf und wir fassen die komplex stetig differenzierbare Abbildung

die die Voraussetzungen des Satzes im Punkt erfüllt, als eine reell stetig differenzierbare Abbildung auf. Dabei gilt die Voraussetzung über die Bijektivität des totalen Differentials auch in der reellen Situation, da ja das komplexe totale Differential mit dem reellen totalen Differential übereinstimmt. Es gibt also offene Umgebungen von und von derart, dass die Einschränkung

bijektiv ist und die Umkehrabbildung

ebenfalls reell stetig differenzierbar ist. Da das totale Differential eine komplex-lineare Abbildung beschreibt, gilt dies auch für die lineare Umkehrabbildung davon, die ja nach dem Satz das (reelle) totale Differential von , also ist. Die Umkehrabbildung ist also in auch komplex total differenzierbar.


Wir nennen eine bijektive holomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen biholomorph, der Satz behauptet also, dass eine komplex-differenzierbare Abbildung, wenn das totale Differential in einem Punkt bijektiv ist, dort auf einer offenen Umgebung bereits eine biholomorphe Abbildung induziert. Schon die eindimensionale Situation von diesem Satz ist eine starke Aussage. Wir formulieren sie direkt für holomorphe Funktionen.


Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und eine holomorphe Funktion mit .

Dann gibt es eine offene Umgebung und eine offene Umgebung derart, dass die Einschränkung von auf biholomorph zu ist.

Dies ist der eindimensionale Spezialfall von Satz 5.2.


Dies bedeutet insbesondere, dass eine holomorphe Funktion in einer offenen Umgebung eines Punktes mit injektiv ist. Bei gilt dies nicht, siehe Aufgabe 5.1 und insbesondere die allgemeine Aussage Lemma 15.10.

Die folgende Aussage, eine erste Version des Offenheitssatzes, werden wir in Satz 15.8

weitgehend verallgemeinern.

Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.


Es sei eine offene Teilmenge und eine holomorphe Funktion mit für alle .

Dann ist eine offene Abbildung.

Wir müssen für jede offene Teilmenge zeigen, dass offen ist. Da für die gleichen Voraussetzungen gelten, genügt es, direkt zu betrachten. Sei mit . Nach Korollar 5.3 gibt es offene Umgebungen und derart, dass die Einschränkung eine Bijektion zwischen und ergibt. Insbesondere liegt also innerhalb des Bildes von und somit haben wir innerhalb von eine offene Umgebung von gefunden.


Es ist im Allgemeinen schwierig, für eine komplex differenzierbare Abbildung mit offen und eine explizite offene Umgebung , auf der eine biholomorphe Abbildung induziert, anzugeben, und ebenso, die lokale Umkehrabbildung explizit zu beschreiben. Die Ableitung der Umkehrabbildung in ist einfach . Eine notwendige Bedingung an ist, dass darin keine Nullstelle besitzen darf.

Wenn in der Form vorliegt und das reelle totale Differential die Form

besitzt, wobei die Symmetriebedingungen und gemäß Satz 3.5 erfüllt sind, so ist die reelle Umkehrmatrix direkt durch

gegeben, die natürlich wieder die Symmetriebedingungen erfüllt. Gesucht ist daher eine Funktion mit

und

und entsprechenden Bedingungen an , doch sind diese schwierig zu bestimmen.



Es sei eine komplexe Zahl. Dann erfüllt die komplexe Zahl

mit dem Vorzeichen

die Eigenschaft , siehe Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) bzw. Aufgabe 5.12 und Aufgabe 5.13.

Wir betrachten die durch die erste Vorschrift gegebene Funktion auf der durch die Bedingung gegebenen offenen Teilmenge, also auf der oberen Halbebene. Es ist also

Wegen sind die Radikanden stets positiv und daher ist reell stetig differenzierbar.

Für die partiellen Ableitungen von

und

gilt

Daher sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt und somit ist komplex differenzierbar. Als Umkehrabbildung zu einer komplex differenzierbaren Abbildung ist das auch klar, zumindest auf dem Ort, wo eine Umkehrabbildung vorliegt. Nach Aufgabe 5.14 und Aufgabe 5.15 liegt eine Bijektion zwischen und dem offenen Quadranten vor.




Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

derart, dass ist und eine Bijektion

induziert.

Die Abbildung ist in jedem Punkt regulär und für das totale Differential von gilt



Es sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

derart, dass ist und eine Bijektion

induziert.

Die Abbildung ist in jedem Punkt regulär und für das totale Differential von gilt

Dies kann man aus Satz 5.2 in der gleichen Weise erhalten wie Satz 5.8 aus Satz 5.1.


Der Satz behauptet insbesondere, dass die Faser lokal in Bijektion zu einer offenen Menge des steht. Man kann aber nicht sagen, dass die Faser lokal biholomorph zum ist, da wir keine holomorphe Struktur auf der Faser erklärt haben (dies wird im Rahmen der riemannschen Flächen bzw. der komplexen Mannigfaltigkeiten gemacht). Für die Funktionentheorie in einer Variablen ist bereits der Fall und entscheidend. Die Stärke der Aussage zeigt sich in der folgenden Anwendung über die Existenz von Wurzeln aus Funktionen, die in Korollar 23.11 wesentlich verallgemeinert wird.



Es sei eine offene Menge, ein Punkt und eine holomorphe Funktion mit . Es sei .

Dann gibt es eine offene Umgebung und eine holomorphe Funktion mit .

Wir betrachten die holomorphe Funktion

in zwei Variablen, es sei ein Punkt mit . Es ist . Die Abbildung besitzt die partiellen Ableitungen und . Im Punkt ist definitiv die zweite partielle Ableitung , daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann (eine explizite Version von) Satz 5.9 anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge definierte holomorphe Funktion

die auf der Faser von über liegt und erfüllt. Damit ist

also für alle .


Diese Aussage kann man auch aus dem Satz über die Umkehrabbildung direkt ableiten, siehe Aufgabe 5.22. Da es zu verschiedene komplexe Zahlen mit gibt, gibt es auch verschiedene Funktionen , die lokal erfüllen.


Wir betrachten das Polynom

Es gilt , daher können wir Satz 5.10 anwenden, beispielsweise für die dritte Wurzel. Es gibt also eine offene Umgebung und eine holomorphe Funktion mit . In einem gewissen Sinn ist also

wobei man aber immer beachten muss, dass dadurch nicht eindeutig festgelegt ist.



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