Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 5

Zu den wichtigsten Sätzen aus der Analysis 2 gehören der Satz über die Umkehrabbildung und der Satz über implizite Abbildungen, an deren reelle Versionen wir erinnern und für die wir die komplexen Versionen formulieren.

Der Satz über die Umkehrabbildung

Satz

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei  ${}G\subseteq V_{1}$  offen und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}P\in G$  ein Punkt derart, dass das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge  ${}U_{1}\subseteq G$  und eine offene Menge  ${}U_{2}\subseteq V_{2}$  mit  ${}P\in U_{1}$  und mit  ${}\varphi (P)\in U_{2}$  derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Dieser Satz wird oft nur in der reellen Situation formuliert und bewiesen, doch gilt er genau so in der komplexen Situation, und zwar kann man die komplexe Situation auf die reelle zurückführen.

Satz

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {C} }$- Vektorräume, sei  ${}G\subseteq V_{1}$  offen und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}P\in G$  ein Punkt derart, dass das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge  ${}U_{1}\subseteq G$  und eine offene Menge  ${}U_{2}\subseteq V_{2}$  mit  ${}P\in U_{1}$  und mit  ${}\varphi (P)\in U_{2}$  derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Beweis

Wir verwenden die reelle Situation, also Satz 5.1. Wir fassen die die komplexen Vektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ als reelle Vektorräume auf und wir fassen die komplex stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow V_{2},$

die die Voraussetzungen des Satzes im Punkt ${}P$ erfüllt, als eine reell stetig differenzierbare Abbildung auf. Dabei gilt die Voraussetzung über die Bijektivität des totalen Differentials auch in der reellen Situation, da ja das komplexe totale Differential mit dem reellen totalen Differential übereinstimmt. Es gibt also offene Umgebungen ${}U_{1}$ von ${}P$ und ${}U_{2}$ von ${}\varphi (P)$ derart, dass die Einschränkung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

bijektiv ist und die Umkehrabbildung

${\left(\varphi {|}_{U_{1}}\right)}^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls reell stetig differenzierbar ist. Da das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ eine komplex-lineare Abbildung beschreibt, gilt dies auch für die lineare Umkehrabbildung davon, die ja nach dem Satz das (reelle) totale Differential von ${}\varphi {|}_{U_{1}}$, also ${}\left(D{\left(\varphi {|}_{U_{1}}\right)}^{-1}\right)_{\varphi (P)}$ ist. Die Umkehrabbildung ist also in ${}\varphi (P)$ auch komplex total differenzierbar.

$\Box$

Wir nennen eine bijektive holomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen  ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  biholomorph, der Satz behauptet also, dass eine komplex-differenzierbare Abbildung, wenn das totale Differential in einem Punkt bijektiv ist, dort auf einer offenen Umgebung bereits eine biholomorphe Abbildung induziert. Schon die eindimensionale Situation von diesem Satz ist eine starke Aussage. Wir formulieren sie direkt für holomorphe Funktionen.

Korollar

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge,  ${}P\in U$  ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit  ${}f'(P)\neq 0$. 

Dann gibt es eine offene Umgebung  ${}P\in V\subseteq U$  und eine offene Umgebung  ${}f(P)\in W\subseteq {\mathbb {C} }$  derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph zu ${}W$ ist.

Beweis

Dies ist der eindimensionale Spezialfall von Satz 5.2.

$\Box$

Dies bedeutet insbesondere, dass eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ in einer offenen Umgebung eines Punktes  ${}P\in U$  mit  ${}f'(P)\neq 0$  injektiv ist. Bei  ${}f'(P)=0$  gilt dies nicht, siehe Aufgabe 5.1 und insbesondere die allgemeine Aussage Lemma 15.10.

Die folgende Aussage, eine erste Version des Offenheitssatzes, werden wir in Satz 15.8

weitgehend verallgemeinern.

Definition

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Lemma

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit  ${}f'(P)\neq 0$  für alle  ${}P\in U$. 

Dann ist ${}f$ eine offene Abbildung.

Beweis

Wir müssen für jede offene Teilmenge  ${}U'\subseteq U$  zeigen, dass ${}f(U')$ offen ist. Da für ${}U'$ die gleichen Voraussetzungen gelten, genügt es, direkt ${}f(U)$ zu betrachten. Sei  ${}Q=f(P)$  mit  ${}P\in U$.  Nach Korollar 5.3 gibt es offene Umgebungen  ${}P\in U_{1}$  und  ${}Q\in U_{2}$  derart, dass die Einschränkung eine Bijektion zwischen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ ergibt. Insbesondere liegt also ${}U_{2}$ innerhalb des Bildes von ${}U$ und somit haben wir innerhalb von ${}f(U)$ eine offene Umgebung von ${}Q$ gefunden.

$\Box$

Bemerkung  

Es ist im Allgemeinen schwierig, für eine komplex differenzierbare Abbildung ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  offen und  ${}f'(P)\neq 0$  eine explizite offene Umgebung  ${}P\in U_{1}\subseteq U$,  auf der ${}f$ eine biholomorphe Abbildung ${}\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ induziert, anzugeben, und ebenso, die lokale Umkehrabbildung explizit zu beschreiben. Die Ableitung der Umkehrabbildung in ${}f(P)$ ist einfach ${}{\frac {1}{f'(P)}}$. Eine notwendige Bedingung an ${}U_{1}$ ist, dass darin ${}f'$ keine Nullstelle besitzen darf.

Wenn ${}f$ in der Form  ${}f=g+h{\mathrm {i} }$  vorliegt und das reelle totale Differential die Form

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}$

besitzt, wobei die Symmetriebedingungen  ${}{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)={\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)$  und  ${}{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q)$  gemäß Satz 3.5 erfüllt sind, so ist die reelle Umkehrmatrix direkt durch

${}{\begin{aligned}\left(Df^{-1}\right)_{f(Q)}&={\frac {1}{{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q){\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)-{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q){\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)&-{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\\-{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)&-{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

gegeben, die natürlich wieder die Symmetriebedingungen erfüllt. Gesucht ist daher eine Funktion ${}\alpha +\beta {\mathrm {i} }$ mit

${}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}(f(Q))={\frac {1}{{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\,$

und

${}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}(f(Q))=-{\frac {1}{{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\,$

und entsprechenden Bedingungen an ${}\beta$, doch sind diese schwierig zu bestimmen.

Beispiel

Es sei  ${}z=a+b{\mathrm {i} }$  eine komplexe Zahl. Dann erfüllt die komplexe Zahl

${}w={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\sigma {\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$

mit dem Vorzeichen

${}\sigma ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}b\geq 0\,,\\-1{\text{ falls }}b<0\,,\end{cases}}\,$

die Eigenschaft  ${}w^{2}=z$,  siehe Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) bzw. Aufgabe 5.12 und Aufgabe 5.13.

Wir betrachten die durch die erste Vorschrift gegebene Funktion ${}\psi$ auf der durch die Bedingung  ${}b>0$  gegebenen offenen Teilmenge, also auf der oberen Halbebene. Es ist also

$\psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)}.$

Wegen  ${}b>0$  sind die Radikanden stets positiv und daher ist ${}\psi$ reell stetig differenzierbar.

Für die partiellen Ableitungen von

${}g(a,b)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}\,$

und

${}h(a,b)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\,$

gilt

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial a}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a\right)}^{-1/2}{\left(a{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}+1\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+1}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial b}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a\right)}^{-1/2}{\left(b{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}-a^{2}}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial a}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a\right)}^{-1/2}{\left(a{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}-1\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}-1}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {a-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}}\\&=-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}}\\&=-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial b}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a\right)}^{-1/2}{\left(b{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}-a^{2}}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{aligned}}$

Daher sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt und somit ist ${}\psi$ komplex differenzierbar. Als Umkehrabbildung zu einer komplex differenzierbaren Abbildung ist das auch klar, zumindest auf dem Ort, wo eine Umkehrabbildung vorliegt. Nach Aufgabe 5.14 und Aufgabe 5.15 liegt eine Bijektion zwischen ${}{\mathbb {H} }$ und dem offenen Quadranten  ${}Q={\left\{x+y{\mathrm {i} }\mid x,y>0\right\}}$  vor.

Der Satz über implizite Abbildungen

Satz

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}P\in G$  und es sei  ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$  die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$  und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass  ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$  ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt  ${}Q\in V$  regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Satz

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}P\in G$  und es sei  ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$  die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge  ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{n-m}$  und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass  ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$  ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt  ${}Q\in V$  regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Beweis

Dies kann man aus Satz 5.2 in der gleichen Weise erhalten wie Satz 5.8 aus Satz 5.1.

$\Box$

Der Satz behauptet insbesondere, dass die Faser lokal in Bijektion zu einer offenen Menge des ${}{\mathbb {C} }^{n-m}$ steht. Man kann aber nicht sagen, dass die Faser lokal biholomorph zum ${}{\mathbb {C} }^{n-m}$ ist, da wir keine holomorphe Struktur auf der Faser erklärt haben (dies wird im Rahmen der riemannschen Flächen bzw. der komplexen Mannigfaltigkeiten gemacht). Für die Funktionentheorie in einer Variablen ist bereits der Fall  ${}n=2$  und  ${}m=1$  entscheidend. Die Stärke der Aussage zeigt sich in der folgenden Anwendung über die Existenz von Wurzeln aus Funktionen, die in Korollar 23.11 wesentlich verallgemeinert wird.

Satz

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Menge,  ${}P\in U$  ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit  ${}f(P)\neq 0$.  Es sei  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann gibt es eine offene Umgebung  ${}P\in V\subseteq U$  und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit  ${}f=h^{k}$. 

Beweis

Wir betrachten die holomorphe Funktion

$\varphi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)-w^{k},$

in zwei Variablen, es sei  ${}Q\in {\mathbb {C} }$  ein Punkt mit  ${}Q^{k}=f(P)$.  Es ist  ${}\varphi (P,Q)=0$.  Die Abbildung ${}\varphi$ besitzt die partiellen Ableitungen ${}f'(z)$ und ${}kw^{k-1}$. Im Punkt ${}(P,Q)$ ist definitiv die zweite partielle Ableitung ${}\neq 0$, daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann (eine explizite Version von) Satz 5.9 anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge  ${}V\subseteq {\mathbb {C} }$  definierte holomorphe Funktion

$V\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto (z,h(z)),$

die auf der Faser von ${}\varphi$ über ${}0$ liegt und  ${}h(P)=Q$  erfüllt. Damit ist

${}\varphi (z,h(z))=f(z)-h(z)^{n}=0\,,$

also  ${}h(z)^{n}=f(z)$  für alle  ${}z\in V$. 

$\Box$

Diese Aussage kann man auch aus dem Satz über die Umkehrabbildung direkt ableiten, siehe Aufgabe 5.22. Da es zu  ${}f(P)\neq 0$  ${}k$ verschiedene komplexe Zahlen ${}Q$ mit  ${}Q^{k}=f(P)$  gibt, gibt es auch ${}k$ verschiedene Funktionen ${}h$, die lokal  ${}h^{k}=f$  erfüllen.

Beispiel

Wir betrachten das Polynom

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-5z^{2}+4z-1.$

Es gilt  ${}f(2)=-5$,  daher können wir Satz 5.10 anwenden, beispielsweise für die dritte Wurzel. Es gibt also eine offene Umgebung  ${}2\in V$  und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit  ${}h^{3}=f$.  In einem gewissen Sinn ist also

${}h={\sqrt[{3}]{f}}\,,$

wobei man aber immer beachten muss, dass dadurch ${}h$ nicht eindeutig festgelegt ist.

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