Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/18/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 5 2 4 4 5 2 4 4 2 8 2 12 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Disjunktheit von Mengen und .
  2. Eine endliche Menge mit Elementen.
  3. Die Multiplikation von natürlichen Zahlen .
  4. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
  6. Ein gemischter Bruch.


Lösung

  1. Die Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.
  2. Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

    gibt.

  3. Das Produkt ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.
  4. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  5. Zwischen den Größen und liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

    mit einer festen Zahl besteht.

  6. Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

    mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.
  2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
  3. Der Satz über das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen in einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Es seien und disjunkte endliche Mengen mit bzw. Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung gerade Elemente.
  2. Sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
  3. Es sei ein angeordneter Körper und . Dann gelten folgende Aussagen.
    1. Die Abbildung

      ist streng wachsend.

    2. Die Abbildung

      ist bei ungerade streng wachsend.

    3. Die Abbildung

      ist bei gerade streng fallend.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f f
f w w
f f f


Lösung

.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Teilmenge einer Menge mit dem Komplement .

  1. Zeige
  2. Es sei und . Zu welchen Potenzmengen gehört die Menge ? Zu ? Zu ? Zu ?
  3. Es sei und die Teilmenge der geraden Zahlen. Formuliere in Worten, was die Zugehörigkeit einer Teilmenge zu und zu bedeutet.
  4. Gilt
  5. Gilt


Lösung

  1. Wenn ist, so bedeutet dies , was wegen direkt und somit ergibt.
  2. Die Menge gehört nicht zu , da ist. Die Menge gehört zu und wegen

    gehört sie auch zu .

  3. Die Zugehörigkeit von zu bedeutet, dass in nicht nur gerade Zahlen vorkommen, und die Zugehörigkeit von zu bedeutet, dass in nur ungerade Zahlen vorkommen.
  4. Wir betrachten und aus Teil (3). Die Menge gehört zu , aber nicht zu .
  5. Das gilt nicht. Die leere Menge gehört zu jeder Potenzmenge, daher gehört sie zu , aber nicht zu .


Aufgabe (2 Punkte)

Zwei Personen wollen ihre Körpergröße vergleichen. Sie können sich direkt vergleichen, indem sie sich Rücken an Rücken hinstellen, oder, indem sie ein Maßband (Zollstock) nehmen und ihre Größe damit jeweils messen. Welche Analogien zu diesen Methoden gibt es, wenn man zwei endliche Mengen vergleichen möchte?


Lösung

Es seien und die beiden beteiligten endlichen Mengen.

Direkter Vergleich: Man bestimmt, ob es eine injektive Abbildung von nach gibt (und umgekehrt), ob also die eine Menge in der anderen Menge „Platz“ hat.

Indirekter Vergleich mit Hilfe eines neutralen Vergleichsmaßstabes: Man zählt die beiden Mengen mit Hilfe der natürlichen Zahlen ab und vergleicht dann die dabei ermittelten Anzahlen.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, wir betrachten die Betragsabbildung

  1. Ist diese Abbildung injektiv?
  2. Ist diese Abbildung surjektiv?
  3. Wir nennen die Betragsabbildung kurz . Was kann man über die Hintereinanderschaltungen in Bezug auf sagen?
  4. Wir schränken die Betragsabbildung auf ein. Bestimme die Monotonieeigenschaft von


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da

    ist.

  2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da negative Zahlen nicht als Betrag einer Zahl auftreten.
  3. Alle Hintereinanderschaltungen stimmen mit der Betragsabbildung selbst überein, da sie einmal angewendet nur nichtnegative Zahlen ergibt und sie auf diesem Bereich identisch wirkt.
  4. Im Bereich stimmt die Betragsabbildung mit der Negation überein und ist daher dort streng fallend.


Aufgabe (4 Punkte)

Im Sportunterricht wird ein Zirkeltraining mit den Stationen

Trampolin, Kletterwand, Schwebebalken, Basketballkorb, Laufband, Medizinball

durchgeführt. Bei einem Durchlauf soll die Kletterwand und der Schwebebalken unmittelbar hintereinander absolviert werden (die Reihenfolge ist aber egal), die beiden Ballstationen (Basketballkorb und Medizinball) sollen aber nicht unmittelbar hintereinander absolviert werden.

Wie viele Möglichkeiten (Reihenfolgen) gibt es für einen vollständigen Durchlauf, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sein sollen?


Lösung

Wir betrachten zunächst die unmittelbar hintereinander zu absolvierenden Stationen Kletterwand und Schwebebalken als eine gemeinsame Station „Holz“. Damit gibt es Stationen. Es gibt Möglichkeiten, aus den Positionen Positionen auszusuchen, an denen der Basketballkorb bzw. der Medizinball absolviert wird. Darunter gibt es Möglichkeiten, bei denen beiden Ballstationen direkt hintereinander liegen. Somit gibt es erlaubte Auswahlen für die Positionen der beiden Ballstationen. Wenn diese festgelegt sind, so gibt es jeweils Möglichkeiten, welche der beiden Ballstationen an welcher Position durchgeführt wird, es gibt Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die drei anderen Stationen (also Trampolin, Laufband und Holz) abgearbeitet werden, und dann gibt es noch jeweils Möglichkeiten für die Reihenfolge innerhalb der Holzstation. Insgesamt gibt es also

erlaubte Reihenfolgen.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring .


Lösung

Seien . Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Wir fassen die zu addierenden und die zu subtrahierenden Zahlen im Zehnersystem zusammen. Somit ist

zu berechnen. Schriftliche Subtraktion ergibt


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.


Lösung

Wir setzen voraus, dass kein Vielfaches von ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass ein Vielfaches von ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind und teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen mit

Da ein Vielfaches von ist, gibt es ein mit

Daher ist

Also ist ein Vielfaches von .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob der Bruch gekürzt ist. Falls nicht, kürze.


Lösung

Wir führen die Division mit Rest durch, um den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu bestimmen. Es ist

Das bedeutet, dass der größte gemeinsame Teiler ist und der Bruch nicht gekürzt ist. Die gekürzte Darstellung des Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner durch dividiert. Dies ergibt


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.


Lösung

Es ist

und

Somit ist das Produkt

Die Kommadarstellung davon ist


Aufgabe (8 (1+1+2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung , die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

auf

abbildet. Bei bezieht sich also die Ziffer nicht mehr auf , sondern auf .

  1. Berechne .
  2. Welche Dezimalbrüche werden unter auf sich selbst abgebildet?
  3. Gilt
  4. Zeige, dass die Beziehung

    für alle Dezimalbrüche und ganze Zahlen gilt.

  5. Ist bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?


Lösung

  1. Es ist
  2. Ein Dezimalbruch wird genau dann unter auf sich selbst abgebildet, wenn für alle die Bedingung erfüllt ist.
  3. Das gilt nicht. Betrachten wir

    Diese Zahl wird unter auf abgebildet und daher ist einerseits

    Andererseits ist

  4. Sei

    Dann ist

  5. Wenn man hintereinander anwendet, so wird die Vertauschung rückgängig gemacht. Die Abbildung ist also bijektiv und stimmt mit ihrer Umkehrabbildung überein.


Aufgabe (2 Punkte)

  1. Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
  2. Wie viel Prozent von einer Stunde sind Minuten?
  3. Wie viele Minuten sind einer Stunde?
  4. Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?


Lösung

  1. , also Minuten.
  2. , also .
  3. also Minuten.

  4. .


Aufgabe weiter

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen , ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von , nachdem einmal die Regel und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
  2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
  3. Bestimme ein Intervall der Form mit , das ganz in enthalten ist.
  4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  5. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.
  6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge besitzt?


Lösung

  1. Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist (mit der Länge ). Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch

    gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist

  2. Teile das Vorgängerintervall in gleichlange Teile und nehme davon das -te Teilintervall.
  3. Bei der schriftlichen Division ergeben sich die Anfangsziffern , bei der schriftlichen Division ergeben sich die Anfangsziffern . Daher ist das Intervall in enthalten (also ).
  4. Die Länge des Intervalls ist , da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei die untere Intervallgrenze von . Dann besteht der rekursive Zusammenhang

    Somit ist

  5. (und gleichzeitig (6)) Es handelt sich um . Wenn man nämlich im -er System die Division durchführt, so erhält man zuerst eine . Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt

    Die erste Nachkommaziffer ist also und der Rest ist ebenfalls . Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis (die Vorkammaziffern sind und) an jeder Nachkommastelle die Ziffer für steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich . Nach (dem analogen Resultat zur Basis zu) Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist somit

    was die Grenzen des Intervalls sind.


Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?


Lösung Annahme/Funktion im Beweis/Aufgabe/Lösung