Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 3 1 4 1 3 5 3 2 2 2 1 2 4 4 6 5 5 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Die Disjunktheit von Mengen und .
  3. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  4. Eine injektive Abbildung
  5. Eine surjektive Abbildung
  6. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .


Lösung

  1. Die Menge

    heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

  2. Die Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.
  3. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  4. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  5. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  6. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
  2. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
  3. Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.


Lösung

  1. Wenn eine Menge ist und wenn

    und

    bijektive Abbildungen sind, so ist

  2. Für jede natürliche Zahl sei eine Aussage gegeben. Es gelte
    1. ist wahr.
    2. Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
    Dann gilt für alle .
  3. Auf den natürlichen Zahlen gibt es genau eine Verknüpfung

    mit


Aufgabe (2 Punkte)

Führe die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die erste binomische Formel für ganze Zahlen zurück.


Lösung

Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als

Unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche erhalten wir


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass man das Multiplizieren von natürlichen Zahlen durch das maximal zweifache Quadrieren, das Addieren, Subtrahieren und durch das Halbieren ausdrücken kann.


Lösung Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/2/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f w
f w w
f f f


Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

  1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
  2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
  3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
  4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
  5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
  6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
  7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
  8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
  9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?


Lösung

Nach (7) liegt der Ponyabschnitt Pone-Pona-Pono oder Pono-Pona-Pone vor. Nach (2) sind somit nur die Ponyreihenfolgen Pone-Pona-Pono-Ponu oder Ponu-Pono-Pona-Pone möglich. Nach (8) sitzt auf Pono Nanny oder Sanny, nach (4) sitzt aber Sanny auf Pona oder Pone. Deshalb sitzt Nanny auf Pono. Nach (5) reitet Nanny direkt hinter Sanny. Bei der Reihenfolge Ponu-Pono-Pona-Pone müsste also Sanny auf Ponu reiten, was nach (4) ausgeschlossen ist. Also ist die Reihenfolge Pone-Pona-Pono-Ponu und Sanny reitet auf Pona. Nach (9) reitet Hanny auf Ponu und folglich reitet Fanny auf Pone.

Reihenfolge Pony Reiterin
1 Pone Fanny
2 Pona Sanny
3 Pono Nanny
4 Ponu Hanny


Aufgabe (1 Punkt)

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Tasse, die Frau Maier-Sengupta nicht im Schrank hat.


Aufgabe weiter

Der Ausdruck bedeute, dass die Person (aus dem Kurs) heute einen Stift mit der Farbe (aus einer bestimmten Menge von Farben) dabei hat. Formuliere in normalen Worten, was die folgenden formal geschriebenen Ausdrücke bedeuten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .


Lösung

  1. Jede Person (hier und im folgenden: aus dem Kurs) hat heute (mindestens) einen Stift (irgendeiner Farbe) dabei.
  2. Es gibt eine Person, die von allen Farben einen Stift dieser Farbe dabei hat.
  3. Jede Person hat einen Stift von jeder Farbe dabei.
  4. Es gibt eine Person, die einen Stift dabei hat.
  5. Es gibt eine Farbe derart, dass jede Person einen Stift dieser Farbe dabei hat.
  6. Für alle Farben gibt es eine Person, die einen Stift dieser Farbe dabei hat.


Aufgabe (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?


Lösung

Da insbesondere der Betrag beglichen werden kann, muss es eine -Riggating-Münze geben. Den Nennbetrag der zweiten Riggating-Münze nennen wir . Wir behaupten, dass man die Darstellung des Riggating-Preises mit der minimalen Anzahl von Münzen findet, wenn man

mit zwischen und berechnet. Die Münzanzahl ist dann . Die Darstellung kann man erhalten, indem man solange -Münzen anhäuft, solange man unterhalb von bleibt, mit der nächsten zusätzlichen -Münze wäre man also schon drüber. Was dann noch fehlt füllt man mit -Münzen auf. Zum Nachweis der Eindeutigkeit: Es sei

eine weitere Darstellung mit

Wir behaupten zunächst

Denn andernfalls wäre

also

und dann wäre

das wäre also keine Darstellung von .

Für die Anzahl der in der zweiten Darsttellung verwendeten Münzen gilt somit (dafür sei )

Bei ist die Darstellung sowieso eindeutig.


Aufgabe (3 Punkte)

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich -Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.


Lösung

4Mengennur2Schritte.png

Es gibt Möglichkeiten.


Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir zählen

  1. Was ist die Mama der Urururoma?
  2. Was ist die Uroma der Uroma?
  3. Was ist die Oma der Oma der Oma?
  4. Was ist das ich der Uroma der Ururoma?


Lösung

  1. Ururururoma.
  2. Ururururoma.
  3. Ururururoma.
  4. Urururururoma.


Aufgabe (2 Punkte)

Mercedes Benz Atego 1624 container truck.JPG

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?


Lösung

  1. Leere Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
  2. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
  3. Volle Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
  4. Leere Mulde auf Fahrzeug hochladen.
  5. Leere Mulde auf den Garagenvorplatz abladen.
  6. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.

Es sind also sechs Ladevorgänge nötig.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Das bedeutet und . Dies wiederum bedeutet oder . Somit ist insgesamt .

Sei nun umgekehrt . Bei ist und und somit ist insbesondere . Ist hingegen , so ist bei die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall betrachten. In diesem Fall ist und somit ist ebenfalls .


Aufgabe (1 Punkt)

Professor Knopfloch ist soeben aufgestanden und noch etwas schläfrig. Er setzt sich seine zwei Kontaklinsen in seine Augen. Beim Frühstück stellt er fest, dass in seinem linken Auge keine Kontaktlinse ist. Er ist sich sicher, dass keine Kontaktlinse verloren ging, jede Kontaklinse landete in einem seiner Augen. Ist die Abbildung, die die Zuordnung an diesem Morgen der Kontaktlinsen zu den Augen beschreibt, surjektiv, injektiv, bijektiv?


Lösung

Die einzige Möglichkeit ist, dass beide Kontaklinsen im rechten Auge gelandet sind. Somit ist die Abbildung nicht injektiv ( Elemente haben den gleichen Wert), und auch nicht surjektiv, da das linke Auge nicht getroffen wird. Insbesondere ist die Abbildung nicht bijektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Lösung

Sei gegeben. Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Insgesamt ist

es gibt also ein Urbild von und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
  2. Die Abbildung ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
  3. Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
  4. Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge , , einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein derart, dass schon ein Mensch ist, aber noch nicht. Für ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Lösung

  1. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist nicht injektiv, da zweifach getroffen wird, und nicht surjektiv, da nicht getroffen wird.
  2. Es handelt sich um keine Abbildung, da für die kein Wert festgelegt ist.
  3. Es handelt sich um eine Abbildung. Sie ist injektiv, aber nicht surjektiv (und somit nicht bijektiv), da nicht getroffen wird.
  4. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.


Lösung

Seien die bijektiven Abbildungen

und

gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Lemma 6.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019))  (3) wieder bijektiv ist, ist auch

bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung

vorliegt, dass dann

ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach . Wenn ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch . Seien nun nicht , so dass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei der Vorgänger von und der Vorgänger von . Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen

Dann gibt es nach der Herausnahme von bzw. eine bijektive Abbildung

Nach Lemma 6.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) gibt es eine bijektive Abbildung zwischen und . Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen und . Nach Induktionsvoraussetzung ist , also auch


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch teilbar ist.

  1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
  2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.


Lösung

Eine ungerade natürliche Zahl besitzt die Form mit einer natürlichen Zahl . Vier aufeinanderfolgende Zahlen sind damit .

  1. Induktionsbeweis: Für geht es um

    was durch teilbar ist. Sei nun die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ein Vielfaches der . Es ist zu zeigen, dass dies auch für die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit gilt. Es ist

    so dass diese Zahl wieder ein Vielfaches der ist.

  2. Es ist
    so dass ein Vielfaches der vorliegt.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl , also

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ist, also


Lösung

Für gibt es nur den einen Summanden , so dass der Induktionsanfang gesichert ist. Sei die Aussage für ein bewiesen. Wir unterteilen die zu berechnende Summe je nachdem, ob die beteiligten Summanden kleiner oder gleich sind. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Formel für die Summe der ersten Zahlen


Aufgabe (3 Punkte)

Das folgende Zitat zur Entwicklung der Zählkompetenz beim Kind ist dem didaktischen Projekt Kira entnommen.

„Phase 1 (verbales Zählen): Die Zahlwortreihe ist noch nicht strukturiert und wird wie ein Gedicht aufgesagt (einszweidreivier). Die Zahlwörter werden noch nicht zum Zählen eingesetzt.

Phase 2 (asynchrones Zählen): Zahlwörter werden zum Zählen benutzt, allerdings werden noch oft Objekte vergessen oder mehrfach gezählt.

Phase 3 (Ordnen der Objekte während des Zählens): Kinder ordnen die Objekte, um sie besser zählen zu können (z.B. durch Wegschieben oder Umlegen während des Zählens).

Phase 4 (resultatives Zählen): Kinder wissen, dass sie beim Zählen mit der Eins anfangen müssen (und fangen auch immer mit der Eins an zu zählen), dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl angibt.

Phase 5 (abkürzendes Zählen): Kinder können kleinere Mengen simultan erfassen, indem sie z.B. Strukturen bilden bzw. ausnutzen (z.B. werden fünf Plättchen, die wie das Bild der Fünf auf einem Würfel dargestellt werden, sofort als fünf erkannt). Sie können von einer beliebigen Zahl an zählen und das auch in Zweierschritten oder auch rückwärts (vgl. Hasemann 2007, S. 8f.).“

Bringe die beschriebenen Phasen mit abstrakten mathematischen Konzepten in Verbindung.


Lösung Zählen/Lernprozess/Mathematischer Vergleich/Aufgabe/Lösung