Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/19/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 2 2 2 3 1 5 6 8 4 7 4 5 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Erzeugendensystem des .
  2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  3. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Die Zahl .
  6. Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung .
  2. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
  3. Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.


Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

  1. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
  2. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
  3. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix von

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.


Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Europäische Wasserscheiden.png

Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen.

  1. Wie viele Äquialenzklassen gibt es?
  2. Ist der Rhein zur Donau äquivalent?
  3. Ist die Hase zur Themse äquivalent?
  4. Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper und sei ein Element mit . Es gebe ein derart, dass

gelte für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die , links und rechts davon stehen unendlich viele (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

  1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als sind.
  2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?


Aufgabe * (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).

  1. Gehört zu ?
  2. Gehört zu ?
  3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
  4. Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
  5. Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Skizziere die Graphen der Funktionen

    und

  2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Gabi Hochster möchte heute abend mit einem Jungen ihrer Klasse ins Kino. Erfahrungsgemäß sagt ein Junge, den sie fragt, mit Wahrscheinlichkeit zu und mit Wahrscheinlichkeit ab. Einerseits möchte sie eine Begleitung haben, andererseits möchte sie auch ungern bei vielen selbst absagen, falls zu viele zusagen. Deshalb fragt sie Jungs.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass alle absagen (als Bruch und als Prozentangabe).
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt.
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einem Jungen absagen muss.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Teilmenge eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei ein weiteres Ereignis und es gelte

Zeige, dass dann

gilt.