Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/19/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	5	2	2	3	1	5	6	10	4	7	4	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,30$ €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür ${}1,60$ €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

1. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
2. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
3. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}6&0&-1&-3\\7&3&0&-7\\6&5&-3&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&4&-2\\2&-1&7\\2&4&8\\1&0&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen.

1. Wie viele Äquialenzklassen gibt es?
2. Ist der Rhein zur Donau äquivalent?
3. Ist die Hase zur Themse äquivalent?
4. Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}a\in K$ ein Element mit ${}0\leq a<1$. Es gebe ein ${}N$ derart, dass

${}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$

gelte für alle ${}n\geq N$. Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die ${}256$, links und rechts davon stehen unendlich viele ${}1$ (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als ${}6$ sind.
2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?

Aufgabe * (10 (1+1+5+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge ${}0,1$ oder ${}3$ besitzt (Periodenlänge ${}0$ bedeutet Dezimalbruch).

1. Gehört ${}{\frac {1}{11}}$ zu ${}M$?
2. Gehört ${}{\frac {1}{37}}$ zu ${}M$?
3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch ${}a/b$ an, ob er zu ${}M$ gehört oder nicht?
4. Ist ${}M$ mit der Addition eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$?
5. Ist ${}M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ${}\mathbb {R}$?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Skizziere die Graphen der Funktionen

   $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x-1,$

   und

   $g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Gabi Hochster möchte heute abend mit einem Jungen ihrer Klasse ins Kino. Erfahrungsgemäß sagt ein Junge, den sie fragt, mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{3}}$ zu und mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {2}{3}}$ ab. Einerseits möchte sie eine Begleitung haben, andererseits möchte sie auch ungern bei vielen selbst absagen, falls zu viele zusagen. Deshalb fragt sie ${}5$ Jungs.

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass alle ${}5$ absagen (als Bruch und als Prozentangabe).
2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt.
3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einem Jungen absagen muss.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}B\subseteq M$ eine Teilmenge eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes ${}M$ mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei ${}E$ ein weiteres Ereignis und es gelte

${}P(E{|}B)\geq P(E)\,.$

Zeige, dass dann

${}P(E{|}M\setminus B)\leq P(E)\,$

gilt.