Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	7	2	3	4	5	3	5	6	3	3	2	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke

${\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}x_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{k}},\,{\text{ falls }}n=2^{k}{\text{ mit }}k\in \mathbb {N} _{+}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert.

1. Bestimme ${}x_{1}$ und ${}x_{8}$.
2. Konvergiert die Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Bestimme die Glieder ${}x_{1},x_{2}$ der Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startglied

   ${}x_{0}=1\,.$

2. Finde ganze Zahlen

   ${}a,b\neq 0\,$

   mit

   ${}\vert {a+b{\sqrt {3}}}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

${}{\left(h\cdot g\right)}\circ f={\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\,.$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

${}{\left(h\circ g\right)}\cdot f={\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}\,$

nicht gelten muss.

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$

1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von ${}P$.
2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von ${}P$.
3. Bestimme eine Zerlegung von ${}P$ in Linearfaktoren.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Schüler fragt: „Ist ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}$ auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?“

1. Was ist Ihre Antwort?
2. Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein?
3. Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}f(a)\geq g(a)$ und ${}f(b)\leq g(b)$. Zeige, dass es einen Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y={\frac {1}{7}}\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe ${}25$ ergibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}A$ das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei ${}B$ das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?