Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/21/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	1	2	2	4	4	3	10	4	2	3	6	3	2	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

5. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (2 (1+0.5+0.5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier und Brunnen als eine Gewinnrelation.

1. Skizziere diese Gewinnrelation durch einen gerichteten Graphen (Pfeildiagramm).
2. Ist die Gewinnrelation transitiv?
3. Gibt es eine dreielementige Teilmenge der Objekte derart, dass die darauf eingeschränkte Relation transitiv ist?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}x_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit Startwert ${}x_{0}=2$ und ${}y_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit Startwert ${}y_{0}=3$.

1. Berechne ${}y_{1}-x_{1}$.
2. Zeige, dass die Differenzfolge

   ${}z_{n}:=y_{n}-x_{n}\,$

   eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0{,}{\overline {142857}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?

1. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

2. $(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

3. $(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

4. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Quadrat des Polynoms

$1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{3}+X+1$ und ${}T=3X^{2}+2X-4$ durch.

Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${}X^{5}$ eine bijektive Abbildung

   $\mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{q},$

stetig ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Was ist eigentlich ein „Winkel“?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Einheitskreis über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$, also die Teilmenge

${}E\subseteq {\left\{(x,y)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Aus ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}=\mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(5)$ werden zufällig Punkte ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und ${}E_{1},\ldots ,E_{r}$ eine Familie von vollständig unabhängigen Ereignissen. Zeige, dass die Familie vollständig unabhängig bleibt, wenn man die leere Menge und die Gesamtmenge ${}M$ hinzunimmt.