Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 16/kontrolle

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Schriftliches Multiplizieren

Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt im allgemeinen Distributivgesetz. Für zwei natürliche Zahlen der Form

ist

Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor nicht kleiner als , aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist Bemerkung 14.5 anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren.


Verfahren  

Beim schriftlichen Multiplizieren zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor.

  1. Man berechnet für jedes einzeln die Dezimalziffern[1] des Teilproduktes und die Überträge (mit dem Startwert ) sukzessive über die Gleichungen

    mit

  2. Die zu den (bzw. ) gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils unterhalb von steht.
  3. Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens.

Das Ergebnis (im Dezimalsystem) dieser Addition ist die Ausgabe des Multiplikationsalgorithmus.

Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl einstellig ist (sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt). Diesen Fall betrachten wir zuerst.


Lemma  

Das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis  

Die linke Faktor sei

und der rechte Faktor sei , wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form

im Sinne von Verfahren 16.1 durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl . Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Es ist, wobei wir mehrfach die definierende Gleichung verwenden,


Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl.


Lemma Lemma 16.3 ändern

Beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl

sind die Überträge stets .

Beweis

Siehe Aufgabe 16.10.


Der Übertrag tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der mit zeigt.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit multiplizieren. Beispielsweise ist bei und bzw. einerseits

und andererseits


Im Gegensatz zur Multiplikation mit der ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der , also mit und , besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die -te Ziffer des Produktes einer Zahl mit der (oder der ) auszurechnen, muss man nur die -te und die -te Ziffer der Zahl kennen.

Bemerkung   Bemerkung 16.5 ändern

Bei der Multiplikation mit und mit vereinfacht sich das in Verfahren 16.1 beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl

mit einer einstelligen Zahl . Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen (Division mit Rest)

mit

durchzuführen, wobei dadurch die und die rekursiv mit dem Startwert festgelegt sind und wobei die die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur

berechnen muss und die Ergebnisziffern

erhält. Insbesondere hängt nur von und ab. Kurz gesagt: Die -te Ziffer eines Produktes mit (oder mit ) ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl mit bzw. mit multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach Lemma 16.3 bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl die Überträge echt kleiner als . Bei kommen also nur die Überträge oder in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein (wenn man zu einer geraden Zahl eine addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht), Die Beziehung folgt direkt.

Bei kommen nur die Überträge in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein (wenn man zu einer durch teilbaren Zahl eine Zahl addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht). Die Beziehung folgt wieder direkt.


Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach.


Lemma  Lemma 16.6 ändern

Die Dezimaldarstellung eines Produktes aus einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

und einer Zehnerpotenz erhält man, indem man an diese Ziffernfolge Nullen anhängt.

Beweis  

Es ist

woraus unmittelbar die Dezimaldarstellung des Produktes ablesbar ist.



Satz  Referenznummer erstellen

Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis  

Die beiden Zahlen seien

Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander

für und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von steht. So entstehen Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt (wobei man dies nur gedanklich machen muss). Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis

Nach Lemma 16.2 werden die im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen Lemma 16.6 die Zahlen korrekt übereinander, so dass das schriftliche Addieren nach Satz 15.6 das korrekte Ergebnis liefert.

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Eine alternative Möglichkeit, zwei im Dezimalsystem gegebene natürliche Zahlen algorithmisch zu multiplizieren, bietet das Jalousie-Verfahren (oder Rauteverfahren oder Gitterverfahren), das wir an einem Beispiel erläutern wollen. Es soll die Multiplikation durchgeführt werden. Dazu legt man ein (mehr oder weniger) rechteckiges Schema der Form

an, so dass für jedes Ziffernpaar eine Raute entsteht, die durch die vertikalen Striche in zwei Hälften unterteilt wird. Die Produkte der einstelligen Ziffern gemäß dem kleinen Einmaleins schreibt man in die zugehörige Raute, und zwar die Endziffer rechts und die Zehnerziffer links.

Dann addiert man die entstehenden Spalten aus einstelligen Zahlen zusammen, notiert die Endziffer der Summe darunter und verarbeitet den Übertrag eine Stelle weiter links. Das Gesamtergebnis steht unter der punktierten Linie. Für die Korrektheit dieses Algorithmus sei auf Aufgabe 16.18 verwiesen. Der Vorteil dieses Algorithmus ist, dass man nur das kleine Einmaleins und die Addition braucht, man muss keine Überträge „im Sinn“ haben.




Schriftliches Subtrahieren


x-y 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18


Das kleine Einsminuseins für . Diese Tabelle muss man auswendig kennen, um das schriftliche Subtrahieren effektiv durchführen zu können. Der Eintrag bedeutet, dass diese Operation (wie ) in nicht durchgeführt werden kann, der Eintrag bedeutet, dass diese Operation in ausgeführt werden kann, dass sie aber auf eine Operation in der Einerstelle allein zurückgeführt werden kann (wie bei ).


Verfahren  

Beim schriftlichen Subtrahieren zweier natürlicher Zahlen mit

die im Dezimalsystem als

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern des Ergebnisses und die Überträge (mit dem Startwert ) sukzessive durch

und

Die Dezimaldarstellung der Differenz ist .



Satz  Referenznummer erstellen

Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.

Beweis  

Es sei

und

Wir behaupten, dass für jedes der Ausdruck

konstant gleich ist. Für

fehlen die -, die - und die -Ausdrücke, so dass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von nach , was dem -ten Rechenschritt entspricht. Im Fall

ist , und somit

Im Fall

ist , und somit

Für sind die - und die -Ausdrücke vollständig abgebaut () und es bleiben die vollständigen - und -Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass

ist und somit ist gleich der Differenz .



Fußnoten
  1. Eigentlich müsste man schreiben, da diese Ziffern auch von abhängen; für einen relativ langen Abschnitt ist aber das fest gewählt.