Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 50

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Setze in das Polynom $2X^3-\frac{1}{4}{X}^2+\frac{2}{5}X+\frac{3}{4}$ die Zahl $\frac{2}{3}$ ein.

Aufgabe

Setze in das Polynom $2X^4+X^3-3X^2+X+5$ die Zahl $\sqrt{2}$ ein.

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$X^3+2X^2-3X+4$

in der neuen Variablen  $U=X+2$. 

Aufgabe *

a) Berechne das Produkt

$(2-3X+X^2)\cdot (-5+4X-3X^2)$

im Polynomring $\mathbb{Q}[X]$.

b) Berechne das Produkt

$(2-3\sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2)\cdot (-5+4\sqrt{2}-3{\sqrt{2}}^2)$

in $ℝ$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $a\in K$  ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]⟶K,X⟼a.$

Aufgabe *

Man gebe ein Polynom  $P\in \mathbb{Q}[X]$  an, das nicht zu $\mathbb{Z}[X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt:  $P(n)\in \mathbb{Z}$. 

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen $\phi \circ \psi$ und $\psi \circ \phi$ für die Abbildungen $\phi ,\psi :ℝ\to ℝ$, die durch

$\phi (x)=x^3+3x^2-4\text{ und }\psi (x)=x^2+5x-3$

definiert sind.

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen $\phi \circ \psi$ und $\psi \circ \phi$ für die Abbildungen $\phi ,\psi :ℝ\to ℝ$, die durch

$\phi (x)=x^4+3x^2-2x+5\text{ und }\psi (x)=2x^3-x^2+6x-1$

definiert sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.

Aufgabe *

Es seien

$f,g,h:ℝ⟶ℝ$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

$(h\cdot g)\circ f=(h\circ f)\cdot (g\circ f).$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

$(h\circ g)\cdot f=(h\cdot f)\circ (g\cdot f)$

nicht gelten muss.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei $P(x)=\sum _{i=0}^d{a}_i{x}^i$ eine Polynomfunktion. Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige durch Induktion über $d$, dass dann auch die durch

$y_n:=P(x_n)$

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen $P(x)$.

Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome  $P\in ℝ[X]$  ist die zugehörige polynomiale Abbildung

$(ℝ,0,+)⟶(ℝ,0,+),x⟼P(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome  $Q\in ℝ[X]$  ist allenfalls $0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

$({ℝ}^{\times },1,\cdot )⟶({ℝ}^{\times },1,\cdot ),x⟼Q(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^4+7X^2-2X+5$ und $T=2X^2+3X-1$ durch.

Aufgabe *

Führe in $\mathbb{Z}/(5)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=X^3+4X^2+3X+4$ und $T=3X^2+2X+1$ durch.

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Z}/(7)[X]$ folgende Polynomdivision aus.

$X^4+5X^2+3\text{ durch }2X^2+X+6.$

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Z}/(7)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=5X^4+3X^3+5X^2+3X+6$ und $T=3X^2+6X+4$ durch.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und seien  $P,T\in K[X]$  Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest „ $P$ durch $T$ “ unerheblich ist, ob man sie in $K[X]$ oder in $L[X]$ durchführt.

Aufgabe

Vergleiche die Division mit Rest in $\mathbb{Z}$ und in $K[X]$ ($K$ ein Körper).

Aufgabe *

Zeige, dass

$z=\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^3+3X+2$

ist.

Aufgabe *

Es sei

$P=X^3+b{X}^2+cX+d$

ein normiertes Polynom über einem Körper $K$. Es seien $u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus $K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von $P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

$uvw=-d,$

$uv+uw+vw=c,$

$u+v+w=-b,$

erfüllen.

Aufgabe *

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

$P=X^3+4X^2-7X+1$

und

$Q=X^3-2X^2+5X+3.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass jedes Polynom $P\in K[X]$, $P\ne 0$, eine Produktzerlegung

$P=(X-{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\mu }_k}\cdot Q$

mit  ${\mu }_j\ge 1$  und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ und die zugehörigen Exponenten ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_k$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$ und sei  $P\in K[X]$  ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein Teiler von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors $X-a$ in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.

Aufgabe *

Es seien $P$ und $Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2$

mit  $a,b,c\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,f(1)=0,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2+d{X}^3$

mit  $a,b,c,d\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0,f(-1)=1.$

Aufgabe *

1. Bestimme ein Polynom $P$ vom Grad $\le 3$ mit

   $P(-1)=-4,$

   $P(0)=2,$

   $P(1)=2$

   und

   $P(2)=3$

2. Bestimme ein normiertes Polynom $Q$ vom Grad $3$ mit

   $Q(0)=1,$

   $Q(2)=3$

   und

   $Q(3)=10.$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu $P$ und zu $Q$.

Aufgabe

Es sei $K[X]$ der Polynomring über einem Körper $K$. Zeige, dass die Menge

$\{\frac{P}{Q}\mid P,Q\in K[X],Q\ne 0\},$

wobei zwei Brüche $\frac{P}{Q}$ und $\frac{P^{\prime }}{Q^{\prime }}$ genau dann als gleich gelten, wenn  $P{Q}^{\prime }=P^{\prime }Q$  ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

Den in der vorstehenden Aufgabe eingeführten Körper nennt man den Körper der rationalen Funktionen.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 49.8, dass man $Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen $f\circ g$ und $g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)=\frac{2x^2-4x+3}{x-2}\text{ und }g(x)=\frac{x+1}{x^2-4}.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und seien $P(x)=\sum _{i=0}^d{a}_i{x}^i$ und $Q(x)=\sum _{i=0}^e{b}_i{x}^i$ Polynome mit $a_d,b_e\ne 0$. Man bestimme in Abhängigkeit von $d$ und $e$, ob die durch

$z_n=\frac{P(n)}{Q(n)}$

(für $n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Berechne das Produkt

   $(1-\frac{5}{3}X+\frac{1}{2}{X}^2)\cdot (2-\frac{3}{4}X+\frac{1}{3}{X}^2-X^3)$

   im Polynomring $\mathbb{Q}[X]$.

2. Berechne das Produkt

   $(1-\frac{5}{3}\sqrt{5}+\frac{1}{2}{\sqrt{5}}^2)\cdot (2-\frac{3}{4}\sqrt{5}+\frac{1}{3}{\sqrt{5}}^2-{\sqrt{5}}^3)$

   in $ℝ$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=5X^4-6X^3+\frac{3}{5}{X}^2-\frac{1}{2}X+5$ und $T=\frac{1}{7}{X}^2+\frac{3}{7}X-1$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in $\mathbb{Z}/(7)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=6X^4+2X^3+4X^2+2X+5$ und $T=5X^2+3X+2$ durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

$X^u+1=(X+1)(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^2-X+1)$

für $u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein reelles Polynom $f$ vom Grad $\le 3$, für welches

$f(0)=-1,f(-1)=-3,f(1)=7,f(2)=21$

gilt.