Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 54/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(4,-1)$, der durch den Punkt ${}(-2,5)$ läuft.

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}2y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,2)$ und den Radius ${}5$ gegeben ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+xy+3y^{2}=3\right\}}$ und ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}-xy+y^{2}=4\right\}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

${}P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,$

die Standardparabel und ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,1)$ und dem Radius ${}1$.

1. Skizziere ${}P$ und ${}K$.
2. Erstelle eine Gleichung für ${}K$.
3. Bestimme die Schnittpunkte

   $P\cap K.$

4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von ${}[-1,1]$ nach ${}\mathbb {R}$.
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die trigonometrischen Dreiecke zu den Winkeln

1. ${}2\pi /3$,
2. ${}5\pi /4$,
3. ${}7\pi /4$.

Aufgabe Aufgabe 54.11 ändern

Begründe die Abschätzung

${}\sin x\leq x\,$

für ${}x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$

b)

${}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$

c)

${}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann (ohne sich zu verrenken)?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=\sin n\,$

nicht konvergiert.

Mit einem Ausdruck der Form ${}\sin ^{n}x$ meint man ${}(\operatorname {sin} (x))^{n}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}:={\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}\,$

in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).

1. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)-1,$

2. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x-1\right)-1,$

3. ${\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {1}{3}}x+1\right)-1,$

4. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)+1,$

5. ${\frac {1}{3}}\sin \left(2x+1\right)-1,$

6. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+{\frac {\pi }{2}}\right)-1.$

• 
  a)
• 
  b)
• 
  c)

• 
  d)
• 
  e)
• 
  f)

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin {\frac {1}{x}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die durch

${}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch im Sinne der folgenden Definition.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode ${}L>0$, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(x+L)\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion und

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ nicht periodisch sein muss.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien

$f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$. Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Die nächsten Aufgaben verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(-x)\,$

gilt.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=-f(-x)\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von ${}f$, ob ${}f$ eine gerade Funktion ist?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von ${}f$, ob ${}f$ eine ungerade Funktion ist?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Betrag

$\vert {\,\,\,}\vert \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

eine gerade Funktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine lineare Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax,$

eine ungerade Funktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}P=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P$ genau dann eine gerade Funktion definiert, wenn ${}a_{k}=0$ für alle ungeraden Indizes ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}P=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}\in \mathbb {R} [X]\,$

ein Polynom. Zeige, dass ${}P$ genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn ${}a_{k}=0$ für alle geraden Indizes ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle die Drehmatrizen zu den Winkeln

${}\alpha =0,\,\pi ,\,\pi /2,\,\pi /3,\,\pi /6,\,\pi /4\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}{\mathcal {D}}={\left\{D(\alpha )\mid \alpha \in \mathbb {R} \right\}}\,$

die Menge aller Drehmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung.

1. Zeige, dass ${}({\mathcal {D}},\circ ,E_{2})$ eine Gruppe ist.
2. Zeige, dass die Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathcal {D}},\,\alpha \longmapsto D(\alpha ),$

   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

3. Zeige, dass ${}2\pi \mathbb {Z}$ der Kern der Abbildung ${}\alpha \mapsto D(\alpha )$ ist.
4. Zeige die Gruppenisomorphie

   ${}\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \cong {\mathcal {D}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

${}\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\left(1-{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{24}}X^{4}\right)}^{2}+{\left(X-{\frac {1}{6}}X^{3}+{\frac {1}{120}}X^{5}\right)}^{2}.$

Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die „Ableitung“ der Sinusreihe unter der (in diesem Fall richtigen) Annahme, dass man bei einer unendlichen Summe von Funktionen gliedweise ableiten darf.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}3y-4x+2=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,5)$ und den Radius ${}7$ gegeben ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K$ und ${}L$, wobei ${}K$ den Mittelpunkt ${}(2,3)$ und den Radius ${}4$ und ${}L$ den Mittelpunkt ${}(5,-1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x^{2}-3xy+2y^{2}=7\right\}}$ und ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+4xy+5y^{2}=8\right\}}$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}:={\frac {5\sin ^{3}n-6n^{4}+13n^{2}+{\left(\sin n\right)}{\left(\cos \left(n^{2}\right)\right)}}{7n^{4}-5n^{3}+n^{2}\sin ^{2}\left(n^{3}\right)-\cos n}}\,$

in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jede stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

als ${}f=g+h$ mit einer stetigen geraden Funktion ${}g$ und einer stetigen ungeraden Funktion ${}h$ schreiben kann.