Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Funktorielle Eigenschaften des Spektrums}
Das Spektrum ordnet nicht nur einem kommutativen Ring einen topologischen Raum zu, sondern auch einem Ringhomomorphismus eine stetige Abbildung zu.
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Zuordnung
\maabbeledisp {\varphi^*} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } {\operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} { {\mathfrak p} } {\varphi^* ({\mathfrak p}) \defeq \varphi^{-1} ({\mathfrak p})
} {,}
ist
\zusatzklammer {wohldefiniert und} {} {}
stetig.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi^*)^{-1} (D( {\mathfrak a} ))
}
{ = }{ D( {\mathfrak a}S )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für einen weiteren Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\psi} {S} {T
} {}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^*
}
{ = }{ \varphi^* \circ \psi^*
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist
nach Aufgabe 14.1
wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \in }{\operatorname{Spek} { \left( S \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*( {\mathfrak q} )
}
{ \in }{ V( {\mathfrak a} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ \varphi^{-1}( {\mathfrak q} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ebenso zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} S
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(3) ist klar.
Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt \stichwort {Spektrumsabbildung} {}
\zusatzklammer {zu dem gegebenen Ringhomomorphismus} {} {.}
Bei einem Unterring
\mathl{R \subseteq S}{} geht es einfach um die Zuordnung
\mathl{{\mathfrak p} \mapsto {\mathfrak p} \cap R}{.} In diesem Fall spricht man auch von \anfuehrung{Runterschneiden}{.}
Vor der nächsten Aussage erinnern wir an einige topologische Eigenschaften von stetigen Abbildungen. Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung
}{}{}
\maabbdisp {f} {X} {Y
} {}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
$X$ und $Y$ heißt \definitionswort {abgeschlossen}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {offen}{}} {} {,}
wenn Bilder von abgeschlossenen
\zusatzklammer {offenen} {} {}
Mengen wieder abgeschlossen
\zusatzklammer {offen} {} {}
sind. Unter einer Einbettung versteht man eine injektive Abbildung, bei der die eingebettete Menge homöomorph zur Bildmenge ist.
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Restklassenabbildung
\maabbdisp {q} {R} {R/ {\mathfrak a}
} {}
ist die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {q^*} { \operatorname{Spek} { \left( R/{\mathfrak a} \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Einbettung}{}{,}
deren Bild
\mathl{V( {\mathfrak a} )}{} ist.
}{Zu einem
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die zur kanonischen Abbildung
\maabbdisp {\iota} {R} {R_M
} {}
gehörige Abbildung
\maabbdisp {\iota^*} {\operatorname{Spek} { \left( R_M \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {}
injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von $R$, die zu $M$ disjunkt sind.
}{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die zur kanonischen Abbildung
\maabbdisp {\iota} {R} {R_f
} {}
gehörige Abbildung
\maabbdisp {\iota^*} {\operatorname{Spek} { \left( R_f \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {offene Einbettung}{}{,}
deren Bild gleich
\mathl{D(f)}{} ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt aus
Aufgabe 10.10:
Die Primideale in
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} entsprechen über
\mathl{{\mathfrak p} \mapsto q^{-1} ( {\mathfrak p} ) = {\mathfrak p} + {\mathfrak a}}{} den Primidealen von $R$, die ${\mathfrak a}$ enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{ R/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subseteq }{ R/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} + {\mathfrak a}
}
{ =} { q^{-1}({\mathfrak b})
}
{ \subseteq} {{\mathfrak p} + {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Also ist das Bild von
\mathl{V( {\mathfrak b} )}{} gleich
\mathl{V( {\mathfrak b} + {\mathfrak a} )}{} und damit abgeschlossen.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Für (2) siehe
Aufgabe 14.2.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Da für ein Primideal ${\mathfrak p}$ und ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn ${\mathfrak p}$ zum
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mathl{{ \left\{ f^n \mid n \in \N \right\} }}{} disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich
\mathl{D(f)}{} ist. Das gleiche Argument, angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ g }{ 1 } }
}
{ \in }{ R_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigt, dass das Bild von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(g)
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R_f \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mathl{D(fg)}{} und damit offen ist.}
{}
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen zwei
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
und es sei
\maabbeledisp {\varphi^*} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } {\operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} { {\mathfrak p} } {\varphi^* ({\mathfrak p})
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über einem Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( (S/ {\mathfrak q}S )_{\varphi (R \setminus {\mathfrak q} ) } \right) }}{.}}
\faktzusatz {D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( S \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}S
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap \varphi (R \setminus {\mathfrak q} )
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Proposition 14.2
müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p}
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} ( {\mathfrak p} )
}
{ = }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn sowohl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( {\mathfrak q} )
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( R \setminus {\mathfrak q} )
}
{ \subseteq }{S \setminus {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Die erste Bedingung ist zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q} S
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die zweite Bedingung ist zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( R \setminus {\mathfrak q} ) \cap {\mathfrak p}
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
äquivalent.
Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes. Wir werden später eine weitere Beschreibung der Faser mit Hilfe des Tensorprodukts kennenlernen. Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$ gleich
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( S/ {\mathfrak m} S \right) }}{} ist, da in diesem Fall aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} S
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ \varphi^{-1}( {\mathfrak p} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich $R$ und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( S_{\varphi( R \setminus \{0\}) } \right) }}{} beschrieben.
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser ist leer/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
und es sei
\maabbeledisp {\varphi^*} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } {\operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} { {\mathfrak p} } {\varphi^* ({\mathfrak p})
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über einem Primideal
\mathl{{\mathfrak q} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} genau dann leer, wenn
\mathl{{\mathfrak q}S \cap \varphi (R \setminus {\mathfrak q} ) \neq \emptyset}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 14.3 und Proposition 13.4 (6).
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n]} { K[Y_1 , \ldots , Y_m]
} {X_i} {P_i
} {,}
gegeben. Nach
Lemma 14.3
wird die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über einem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
der Form
\mathl{(X_1-a_1 , \ldots , X_n-a_n)}{} durch
\mathl{V(P_1-a_1 , \ldots , P_n-a_n)}{} beschrieben. Ein $K$-Punkt
\mathl{(Y_1-b_1 , \ldots , Y_m-b_m)}{} gehört zu dieser abgeschlossenen Menge genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_i(b_1 , \ldots , b_m)
}
{ =} {a_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( \Z[X] \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( \Z \right) }
} {}
über einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(p)}{} zu einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ ist
nach Lemma 14.3
und
Proposition 14.2 (1)
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(p \Z[X] )
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( \Z [X] /p \Z[X] \right) }
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( \Z/(p) [X] \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Über dem Nullideal
\mathl{(0)}{} ist die Faser gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spek} { \left( (\Z[X])_{\Z \setminus \{0\} } \right) }
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( \Q[X] \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In jedem Fall ist also die Faser gleich
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( K[X] \right) }}{,} wenn $K$ den
\definitionsverweis {Restekörper}{}{} zum Primideal bezeichnet.
}
\zwischenueberschrift{Die Spektrumsabbildung bei einer ganzen Erweiterung}
Wir betrachten Besonderheiten der Spektrumsabbildung zu einer ganzen Erweiterung. Die folgende Aussage heißt die \stichwort {going up} {-}Eigenschaft einer ganzen Erweiterung.
\inputfaktbeweis
{Ganzer Ringhomomorphismus/Going up/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{.}
Es seien
\mathl{{\mathfrak q}_0 \subseteq {\mathfrak q}_1}{}
\definitionsverweis {Primideale}{}{} in $R$}
\faktvoraussetzung {und ${\mathfrak p}_0$ ein Primideal in $S$ mit
\mathl{\varphi^*({\mathfrak p}_0 )={\mathfrak q}_0}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein Primideal
\mathl{{\mathfrak p}_1 \supseteq {\mathfrak p}_0}{} in $S$ mit
\mathl{\varphi^*({\mathfrak p}_1 )={\mathfrak q}_1}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die injektive Abbildung
\maabbdisp {} {R/ {\mathfrak q}_0} {S/ {\mathfrak p}_0
} {,}
die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung
\mathl{R \subseteq S}{} von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( S \right) }}{} finden, das auf ein vorgegebenes Primideal
\mathl{{\mathfrak q} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} runterschneidet. Wir
\definitionsverweis {lokalisieren}{}{} $R$ an ${\mathfrak q}$ und $S$ an
\mathl{R \setminus {\mathfrak q} \subseteq S}{,} wobei die induzierte Abbildung
\maabbdisp {} {R_{\mathfrak q}} {S_{R \setminus {\mathfrak q} }
} {}
nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist und
\mathl{R \subseteq S}{} eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus $S$, das auf das maximale Ideal ${\mathfrak m}$ herunterschneidet. Nehmen wir an, dass die
\definitionsverweis {Faser}{}{} über ${\mathfrak m}$ leer ist. Dann ist
nach Korollar 14.4
das
\definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak m} S}{} gleich dem
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{.}
Dann gibt es Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in {\mathfrak m}}{} und
\mathl{s_1 , \ldots , s_n \in S}{} mit
\mathl{s_1f_1 + \cdots + s_nf_n=1}{.} Diese Gleichung gilt auch im Unterring
\mathl{T=R[s_1 , \ldots , s_n] \subseteq S}{.} Die Erweiterung
\mathl{R \subseteq T}{} ist
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
und
\definitionsverweis {ganz}{}{,}
also
nach Satz 11.10
sogar
\definitionsverweis {endlich}{}{.}
Es ist
\mathl{{\mathfrak m} T=T}{} und damit
\mathl{T/{\mathfrak m} T=0}{.}
Aus dem Lemma von Nakayama
folgt daraus
\mathl{T=0}{,} ein Widerspruch.
Die folgende Aussage heißt die \stichwort {lying over} {-}Eigenschaft einer injektiven ganzen Erweiterung.
\inputfaktbeweis
{Ganzer Ringhomomorphismus/Injektiv/Surjektiv/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^*} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{\mathfrak q} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} vorgegeben. Die induzierte Abbildung
\maabbdisp {} {R_ {\mathfrak q} } {S_{ R \setminus {\mathfrak q} }
} {} ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu
Lemma 14.7
zeigt, dass es ein Primideal aus
\mathl{S_{ R \setminus {\mathfrak q} }}{} gibt, das auf ${\mathfrak q}$ runterschneidet.
\inputfaktbeweis
{Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung abgeschlossen/Surjektiv/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^*} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {}
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}}
\faktzusatz {Wenn $\varphi$ zusätzlich
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist $\varphi^*$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge
\mathl{V( {\mathfrak a} ) \subseteq \operatorname{Spek} { \left( S \right) }}{} mit einem Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq S}{,} dass das Bild
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^*(V( {\mathfrak a} ))
}
{ =} {V(\varphi^{-1} ({\mathfrak a} ) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den
\definitionsverweis {induzierten Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R/ \varphi^{-1}( {\mathfrak a} )} {S/ {\mathfrak a}
} {,}
der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist
\maabbdisp {} { V( {\mathfrak a}) \cong \operatorname{Spek} { \left( S/ {\mathfrak a} \right) } } { V(\varphi^{-1}( {\mathfrak a} )) \cong \operatorname{Spek} { \left( R/ \varphi^{-1}( {\mathfrak a} ) \right) }
} {}
nach Lemma 14.8
surjektiv. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^*(V( {\mathfrak a} ))
}
{ = }{V(\varphi^{-1} ({\mathfrak a} ) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Zusatz folgt ebenfalls aus
Lemma 14.8.
\inputfaktbeweis
{Ganze Erweiterung eines Körpers/Integer/Körper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $A$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mathl{K\subseteq A}{} eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch $A$ ein Körper.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathbed {a \in A} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^n +r_{n-1}a^{n-1} + \cdots + r_1a+r_0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so können wir $a$ ausklammern und erhalten, da $a$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot { \left( a^{n-1} +r_{n-1}a^{n-2} + \cdots + r_1 \right) } \cdot { \left( -r_0^{-1} \right) }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $a$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern nulldimensional/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{.}
Es seien
${\mathfrak p} \neq {\mathfrak q}$
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $S$ mit
\mathl{\varphi^*({\mathfrak p})= \varphi^*({\mathfrak q})}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak p} \not\subseteq {\mathfrak q}$.}
\faktzusatz {D.h. die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
sind nulldimensional.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{\mathfrak r} \defeq \varphi^*({\mathfrak p})= \varphi^*({\mathfrak q})}{.} Wir machen den Übergang
\maabbdisp {} {R} {R_{\mathfrak r}/{\mathfrak r} R_{\mathfrak r} = \kappa( {\mathfrak r})
} {} und betrachten die induzierte Abbildung
\maabbdisp {} {\kappa( {\mathfrak r})\defeqr K } { (S/ {\mathfrak r} S)_{\varphi(R \setminus {\mathfrak r})} \defeqr A
} {,}
die ebenfalls ganz ist.
Nach Lemma 14.3
ist
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( A \right) }}{} die
\definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi^*$ über ${\mathfrak r}$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper $K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei
\mathl{{\mathfrak p} \subseteq {\mathfrak q}}{} eine Inklusion von Primidealen aus $A$. Wir gehen zu
\maabb {} {K} {A/{\mathfrak p}
} {} über. Somit ist
\mathl{A/{\mathfrak p}}{} ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers.
Nach Lemma 14.10
ist
\mathl{A/{\mathfrak p}}{} selbst ein Körper. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ =} { {\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Ganze Ringerweiterung/Spektrumsabbildung/Dimensionsgleichheit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim} { \left( S \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim} { \left( R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu einer Primidealkette
\mathl{{\mathfrak p}_0 \subset {\mathfrak p}_1 \subset \ldots \subset {\mathfrak p}_n}{} aus $S$ ist die Kette
\mathl{\varphi^*({\mathfrak p}_0) \subset \varphi^*({\mathfrak p}_1) \subset \ldots \subset \varphi^*( {\mathfrak p}_n)}{}
nach Lemma 14.11
ebenfalls echt, sodass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim} { \left( S \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{dim} { \left( R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Zu einer Primidealkette
\mathl{{\mathfrak q}_0 \subset {\mathfrak q}_1 \subset \ldots \subset {\mathfrak p}_n}{} aus $R$ gibt es zunächst
nach Lemma 14.8
ein Primideal ${\mathfrak p}_0$ aus $S$ mit
\mathl{\varphi^* ({\mathfrak p}_0) = {\mathfrak q}_0}{.}
Nach Lemma 14.7
kann man dies sukzessive zu einer Kette
\mathl{{\mathfrak p}_0 \subset {\mathfrak p}_1 \subset \ldots \subset {\mathfrak p}_n}{} mit
\mathl{\varphi^*( {\mathfrak p}_i )= {\mathfrak q}_i}{} fortsetzen. Daher ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim} { \left( S \right) }
}
{ \geq} { \operatorname{dim} { \left( R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{Endlicher Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern endlich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {endlicher Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann bestehen die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
der
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {}
aus endlich vielen Punkten.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 14.16. }
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