Kurs:Körper- und Galoistheorie/2/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 | 3 | 5 | 5 | 10 | 7 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Normalteiler in einer Gruppe .
- Eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper ().
- Ein separables Polynom über einem Körper .
- Die Kommutatorgruppe einer Gruppe .
- Eine transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe.
- Eine rein transzendente Körpererweiterung .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Lemma von Dedekind für Charaktere auf einem Monoid in einen Körper .
- Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung .
- Der Satz über das Delische Problem.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
a) Zeige, dass durch
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
b) Berechne in das Produkt .
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .
Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)
Wir betrachten das Polynom
Bestimme für die folgenden Körper , ob irreduzibel in ist.
a) .
b) .
c) .
d) .
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)
Es sei eine endliche normale Körpererweiterung und sei
die komplexe Konjugation.
a) Zeige, dass gilt.
b) Zeige, dass genau dann gilt, wenn ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere
auf einem Monoid in einen Körper .
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Wie viele Unterkörper besitzt der endliche Körper ?
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine - graduierte Körpererweiterung von . Beschreibe die Matrizen der - Algebraautomorphismen auf (also die Elemente der Galoisgruppe ) bezüglich einer geeigneten -Basis von .
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe und es seien Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern und . Zeige, dass der Durchschnitt gleich dem Fixkörper zu ist, wobei die von und erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von , die sowohl als auch enthält).
Aufgabe * (10 (4+6) Punkte)
Es sei (in ) der -te Kreisteilungskörper und sei eine -te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente , .
a) Zeige, dass für eine Primzahl diese Elemente eine -Basis von bilden.
b) Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass diese Elemente keine -Basis von bilden.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei eine auflösbare Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass auch auflösbar ist.