Kurs:Körper- und Galoistheorie/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	$\sum$
Punkte	3	3	3	4	4	3	5	4	3	3	5	5	10	7	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
2. Eine $n$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ in einem Körper $K$ ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).
3. Ein separables Polynom $P\in K[X]$ über einem Körper $K$.
4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe $G$.
5. Eine transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe.
6. Eine rein transzendente Körpererweiterung  $K\subseteq L$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Dedekind für Charaktere auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$.
2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
3. Der Satz über das Delische Problem.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $\pi +e\mathrm{i}$ über $ℝ$.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

$K=\mathbb{Z}/(7)[T]/(T^3-2)$

ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

$P=X^{7129}+105X^{103}+15X+45.$

Bestimme für die folgenden Körper $K$, ob $P$ irreduzibel in $K[X]$ ist.

a) $K=\mathbb{Q}$.

b) $K=ℝ$.

c) $K=\mathbb{Z}/(2)$.

d) $K=\mathbb{Q}[T]/(T^{7129}+105T^{103}+15T+45)$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei $\mathbb{Q}\subseteq K$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei

$\kappa :ℂ⟶ℂ$

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass $\kappa (K)\subseteq K$ gilt.

b) Zeige, dass $\kappa {|}_K={\mathrm{Id}}_K$ genau dann gilt, wenn $K\subseteq ℝ$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten

$D:K[X]⟶K[X],F⟼F^{\prime }.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere

${\chi }_1,{\chi }_2:G⟶K$

auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi :{𝔽}_{25}⟶{𝔽}_{25}$

bezüglich einer geeigneten ${𝔽}_5$-Basis von ${𝔽}_{25}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wie viele Unterkörper besitzt der endliche Körper ${𝔽}_{625}$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $D=\mathbb{Z}/(n)$ und sei $K$ ein Körper, der eine $n$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ enthält. Es sei $L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung von $K$. Beschreibe die Matrizen der $K$-Algebraautomorphismen auf $L$ (also die Elemente der Galoisgruppe $\mathrm{Gal}(L/K)$) bezüglich einer geeigneten $K$-Basis von $L$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$ und es seien $H_1,H_2\subseteq G$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern $K_1=\mathrm{Fix}(H_1)$ und $K_2=\mathrm{Fix}(H_2)$. Zeige, dass der Durchschnitt $K_1\cap K_2$ gleich dem Fixkörper zu $H$ ist, wobei $H$ die von $H_1$ und $H_2$ erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von $G$, die sowohl $H_1$ als auch $H_2$ enthält).

Aufgabe * (10 (4+6) Punkte)

Es sei  $\mathbb{Q}\subseteq K_n$  (in $ℂ$) der $n$-te Kreisteilungskörper und sei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente ${\zeta }^i$, $i\in {(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$.

a) Zeige, dass für eine Primzahl  $n=p$  diese Elemente eine $\mathbb{Q}$-Basis von $K_n$ bilden.

b) Es sei $p$ eine Primzahl und  $n=p^2$.  Zeige, dass diese Elemente keine $\mathbb{Q}$-Basis von $K_n$ bilden.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe und

$q:G⟶H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass auch $H$ auflösbar ist.