Kurs:Körper- und Galoistheorie/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 3 4 4 3 5 4 3 3 5 5 10 7 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  2. Eine auflösbare Gruppe .
  3. Eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper ().
  4. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  5. Ein separables Polynom über einem Körper .
  6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
  7. Eine (endliche) Galoiserweiterung .
  8. Der -te Kreisteilungskörper (über ).


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Dedekind für Charaktere auf einem Monoid in einen Körper .
  2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung .
  3. Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über bzw. ).
  4. Der Satz über den Grad der Kreisteilungskörper (über ).


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

Bestimme für die folgenden Körper , ob irreduzibel in ist.

a) .

b) .

c) .

d) .


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und sei

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass gilt.

b) Zeige, dass genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere

auf einem Monoid in einen Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobenius-Homomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Wie viele Unterkörper besitzt der endliche Körper ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine -graduierte Körpererweiterung von . Beschreibe die Matrizen der -Algebra-Automorphismen auf (also die Elemente der Galoisgruppe ) bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe und es seien Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern und . Zeige, dass der Durchschnitt gleich dem Fixkörper zu ist, wobei die von und erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von , die sowohl als auch enthält).


Aufgabe * (10 (4+6) Punkte)

Es sei (in ) der -te Kreisteilungskörper und sei eine -te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente , .

a) Zeige, dass für eine Primzahl diese Elemente eine -Basis von bilden.

b) Sei eine Primzahl und . Zeige, dass diese Elemente keine -Basis von bilden.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei eine auflösbare Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass auch auflösbar ist.