Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 1

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung  $4x^2+5x+2=0$  über $\mathbb{Z}/(7)$.

Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.

a) Die dritten Einheitswurzeln in $ℂ$ sind $1,ϵ=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ und $\eta =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$.

b) Es ist  ${ϵ}^2=\eta$  und  ${\eta }^2=ϵ$. 

c) Es ist  $1+ϵ+{ϵ}^2=0$. 

d) Es ist  $ϵ+{ϵ}^2=-1$. 

Aufgabe

Eliminiere in der kubischen Gleichung

$x^3+6x^2-5x-2=0$

den quadratischen Term.

Aufgabe *

Eliminiere in der kubischen Gleichung

$x^3+2x^2-2=0$

den quadratischen Term.

Aufgabe

Finde die Nullstellen des Polynoms

$X^3-3X^2+7X-21$

ohne die Formeln von Cardano.

Aufgabe *

Zeige, dass

$z=\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^3+3X+2$

ist.

Aufgabe

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung

$x^3+px=0$

($p\in ℂ$) direkt und mithilfe der Formel von Cardano.

Aufgabe *

Zeige, dass

$-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^3+2X^2-2$

ist.

Aufgabe *

Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung

$z^3-\frac{4}{3}z-\frac{38}{27}=0$

mit der Cardanoschen Formel.

Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung

$x^3-x+5=0$

mit der Cardanoschen Formel.

Aufgabe

Bestimme die komplexen Eigenwerte der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 1& 4& 2\\ 0& -1& 5\end{array}\right).$

Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung  $x^4+7x^2-11=0$  über $ℝ$.

Aufgabe *

Es sei

$P=\frac{1}{24}{X}^4-\frac{1}{2}{X}^2+1.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und $\frac{\pi }{2}$?

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl $\sqrt{p}$ irrational ist.

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^4+7X^2-2X+5$ und $T=2X^2+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei $x^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$ eine kubische Gleichung mit $a_i\in \mathbb{Q}$. Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über $\mathbb{Q}$ möglich?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$

eine polynomiale Gleichung mit $a_i\in ℂ$, $a_n\ne 0$.

Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form

$x^n+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0=0$

gibt.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

$2x^3-4x^2+5x-3=0$

mit der Cardanoschen Formel.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung

$x^6-4x^2+7=0.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.

In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper $L=\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ aus Beispiel 1.7 gerechnet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in $(\mathbb{Q}[\sqrt{3}])[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}$ und $T=\sqrt{3}{X}^2-X+2+7\sqrt{3}$ durch.

Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019) | >> PDF-Version dieses Arbeitsblattes Zur Vorlesung (PDF)