Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 1

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung ${}4x^{2}+5x+2=0$ über ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.

a) Die dritten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ sind ${}1,\,\epsilon =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$ und ${}\eta =-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$.

b) Es ist ${}\epsilon ^{2}=\eta$ und ${}\eta ^{2}=\epsilon$.

c) Es ist ${}1+\epsilon +\epsilon ^{2}=0$.

d) Es ist ${}\epsilon +\epsilon ^{2}=-1$.

Aufgabe

Eliminiere in der kubischen Gleichung

${}x^{3}+6x^{2}-5x-2=0\,$

den quadratischen Term.

Aufgabe *

Eliminiere in der kubischen Gleichung

${}x^{3}+2x^{2}-2=0\,$

den quadratischen Term.

Aufgabe

Finde die Nullstellen des Polynoms

$X^{3}-3X^{2}+7X-21$

ohne die Formeln von Cardano.

Aufgabe *

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung

$x^{3}+px=0$

($p\in {\mathbb {C} }$) direkt und mit Hilfe der Formel von Cardano.

Aufgabe *

Zeige, dass

$-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+2X^{2}-2$

ist.

Aufgabe *

Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung

${}z^{3}-{\frac {4}{3}}z-{\frac {38}{27}}=0\,$

mit der Cardanoschen Formel.

Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${}x^{3}-x+5=0\,$

mit der Cardanoschen Formel.

Aufgabe

Bestimme die komplexen Eigenwerte der Matrix

${\begin{pmatrix}3&2&0\\1&4&2\\0&-1&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung ${}x^{4}+7x^{2}-11=0$ über ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe *

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {p}}$ irrational ist.

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{4}+7X^{2}-2X+5$ und ${}T=2X^{2}+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei ${}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$ eine kubische Gleichung mit ${}a_{i}\in \mathbb {Q}$. Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über ${}\mathbb {Q}$ möglich?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

eine polynomiale Gleichung mit ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$, ${}a_{n}\neq 0$.

Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form

$x^{n}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}=0$

gibt.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

$2x^{3}-4x^{2}+5x-3=0$

mit der Cardanoschen Formel.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung

$x^{6}-4x^{2}+7=0.$

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}K$ nicht endlich sein kann.

In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$ aus Beispiel 1.7 gerechnet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}(\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}])[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{3}-(2+{\sqrt {3}})X^{2}+5{\sqrt {3}}X+1+2{\sqrt {3}}$ und ${}T={\sqrt {3}}X^{2}-X+2+7{\sqrt {3}}$ durch.

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