Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann normal ist, wenn die normale Hülle gleich ${}L$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die normale Hülle der Körpererweiterung ${}K\subseteq K[X]/(F)$ gleich dem Zerfällungskörper von ${}F$ ist.

Es sei ${}K\subseteq L$ eine auflösbare Körpererweiterung. Es sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung und es sei ${}L'=LK'$ das Kompositum von ${}L$ und ${}K'$ (das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei). Zeige, dass auch ${}K'\subseteq L'$ auflösbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,F\in K[X]$ nichtkonstante Polynome. Wir setzen ${}Q=P(F)$ (in ${}P$ wird also das Polynom ${}F$ eingesetzt). Zeige, dass man den Zerfällungskörper von ${}P$ in den Zerfällungskörper von ${}Q$ einbetten kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein auflösbares Polynom. Zeige, dass auch ${}P(X^{n})$ auflösbar ist.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}3$ . Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass ${}P$ auflösbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}3$ . Setze die Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ , die sich aus der Cardanoschen Formel ergeben, mit den Körpererweiterungen in Beziehung, die sich aus der Galoistheorie über Satz 22.6 ergeben.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$ und zerfallende Polynome ${}F,G\in K[X]$ derart, dass die Einsetzung ${}F(G)$ nicht zerfällt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ungerade Zahl. Man gebe eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ vom Grad ${}n$ derart, dass ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ trivial ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ auflösbare Körpererweiterungen. Zeige, dass auch ${}K\subseteq M$ auflösbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}F$ und ${}G$ auflösbare Polynome über einem Körper ${}K$ . Zeige, dass das Produkt ${}FG$ ebenfalls auflösbar ist.

Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein reguläres ${}n$ -Eck ( $n\geq 3$ ) mit den Eckpunkten ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ , und es sei ${}V$ der von diesen Eckpunkten erzeugte ${}\mathbb {Q}$ - Vektorraum.