Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 22

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann normal ist, wenn die normale Hülle gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die normale Hülle der Körpererweiterung gleich dem Zerfällungskörper von ist.


Aufgabe

Es sei eine auflösbare Körpererweiterung. Es sei eine weitere Körpererweiterung und es sei das Kompositum von und (das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei). Zeige, dass auch auflösbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien nichtkonstante Polynome. Wir setzen (in wird also das Polynom eingesetzt). Zeige, dass man den Zerfällungskörper von in den Zerfällungskörper von einbetten kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein auflösbares Polynom. Zeige, dass auch auflösbar ist.


Aufgabe *

Es sei ein Polynom vom Grad . Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass auflösbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Polynom vom Grad . Setze die Körpererweiterungen von , die sich aus der Cardanoschen Formel ergeben, mit den Körpererweiterungen in Beziehung, die sich aus der Galoistheorie über Satz 22.6 ergeben.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Körper und zerfallende Polynome derart, dass die Einsetzung nicht zerfällt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine ungerade Zahl. Man gebe eine Körpererweiterung vom Grad derart, dass trivial ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und auflösbare Körpererweiterungen. Zeige, dass auch auflösbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und auflösbare Polynome über einem Körper . Zeige, dass das Produkt ebenfalls auflösbar ist.


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Es sei ein reguläres -Eck () mit den Eckpunkten , und es sei der von diesen Eckpunkten erzeugte -Vektorraum.

a) Zeige die Abschätzungen

(Dabei bezeichnet die eulersche -Funktion).

b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.



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