Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	6	3	8	5	6	3	5	4	2	6	3	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bild einer Abbildung

   $F\colon L\longrightarrow M.$

2. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.
3. Elementare Zeilenumformungen an einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Eine Transposition auf einer endlichen Menge ${}M$.
5. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und einem Eigenwert ${}\lambda \in K$.
6. Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert ${}\lambda$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Basisaustauschlemma.
2. Der Determinantenmultiplikationssatz.
3. Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass es eine Menge ${}N$ gibt und eine surjektive Abbildung

$F\colon L\longrightarrow N$

und eine injektive Abbildung

$G\colon N\longrightarrow M$

mit

${}\varphi =G\circ F\,.$

b) Zeige, dass es eine Menge ${}P$ gibt und eine injektive Abbildung

$H\colon L\longrightarrow P$

und eine surjektive Abbildung

$I\colon P\longrightarrow M$

mit

${}\varphi =I\circ H\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$, liegen unter einer Palme, ${}A$ besitzt ${}2$ Fladenbrote und ${}B$ besitzt ${}3$ Fladenbrote. Eine dritte Person ${}C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber ${}5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die ${}5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt ${}C$ an ${}A$ und an ${}B$?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}2\\3\\7\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}5\\6\\9\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung.

a) Zeige, dass der Kern von ${}\varphi$ ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

$V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$

nicht linear ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A,B,C$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

${}\det M=\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C\,$

im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^{3}-5X^{2}+7X-4$

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

${}U={\left\{v\in V\mid {\text{ es gibt ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}\varphi ^{n}(v)=0\right\}}\,$

definierte Teilmenge von ${}V$ ein ${}\varphi$- invarianter Unterraum ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2}$

derart, dass weder ${}\varphi \circ \psi$ noch ${}\varphi +\psi$ nilpotent sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme zur reellen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&5&2&4\\0&3&6&-1\\0&0&3&2\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\,$

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)