Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 6 3 8 5 6 3 5 4 2 6 3 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Ein Vektorraum über einem Körper .
  3. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  4. Eine Transposition auf einer endlichen Menge .
  5. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung auf einem -Vektorraum und einem Eigenwert .
  6. Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Basisaustauschlemma.
  2. Der Determinantenmultiplikationssatz.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei

eine Abbildung.

a) Zeige, dass es eine Menge gibt und eine surjektive Abbildung

und eine injektive Abbildung

mit

b) Zeige, dass es eine Menge gibt und eine injektive Abbildung

und eine surjektive Abbildung

mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

a) Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum von ist.

b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass die natürliche Abbildung

nicht linear ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

im Allgemeinen nicht gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

derart, dass weder noch nilpotent sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme zur reellen Matrix

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)