Kurs:Lineare Algebra/Teil I/32/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 5 | 3 | 3 | 4 | 0 | 0 | 0 | 31 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
- Ein Isomorphismus zwischen - Vektorräumen und .
- Der Spaltenrang einer - Matrix über einem Körper .
- Der Dualraum zu einem - Vektorraum .
- Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
- Eine Fahne in einem - dimensionalen - Vektorraum .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
- Der Satz über die Beziehung von Permutationen und Transpositionen.
- Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Aufgabe * (1 Punkt)
Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Finde die komplexen Quadratwurzeln von
über den Ansatz
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)
- Zeige durch Induktion über , dass die Determinante einer -Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
- Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)
Es seien quadratische Matrizen über einem Körper , die zueinander in der Beziehung
mit einer invertierbaren Matrix stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von mit den Eigenwerten zu übereinstimmen, und zwar
- direkt,
- mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)