Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 55/latex

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\setcounter{section}{55}




\inputbeispiel{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten zu zwei endlichen Indexmengen \mathkor {} {I} {und} {J} {} die Abbildungsräume \mathkor {} {\operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }} {und} {\operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) }} {,} die beide $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} sind. In welcher Beziehung stehen sie zur Abbildungsmenge
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) }} { ? }
Zu Abbildungen
\mathl{f \in \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }}{} und
\mathl{g \in \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) }}{} kann man einfach eine Abbildung auf
\mathl{I \times J}{} erhalten, die man
\mathl{f \otimes g}{} nennt \zusatzklammer {sprich $f$ tensor $g$} {} {} und die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \otimes g) (i,j) }
{ \defeq} { f(i) \cdot g(j) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt ist. Für die Standardvektoren gilt dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i \otimes e_j }
{ =} { e_{(i,j)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Jedes Element
\mathl{h \in \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) }}{} kann man insbesondere als eine Linearkombination zu Elementen $f \otimes g$ schreiben, aber nicht jedes $h$ hat diese einfache Gestalt. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a_1f_1+a_2f_2) \otimes g }
{ =} {a_1 (f_1 \otimes g ) + a_2 (f_2 \otimes g) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und entsprechend in der zweiten Komponente.


}

In dieser Vorlesung führen wir eine wichtige Konstruktion für Vektorräume ein, das sogenannte \stichwort {Tensorprodukt} {,} das im soeben betrachteten Spezialfall den Abbildungsraum auf der Produktmenge ergibt; es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \otimes_{ K } \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } }
{ \cong} {\operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Eigenschaften des konstruierten Objektes sind dabei wichtiger als die Konstruktion selbst. Die Konstruktion ist sehr abstrakt und beruht auf der Konstruktion von Restklassenräumen und folgender Konstruktion.


Zu einer beliebigen Symbolmenge $S$ und einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ kann man den Vektorraum
\mathl{K^{(S)}}{} konstruieren, der aus allen Abbildungen \maabbdisp {} {S} {K } {} besteht, die überall bis an endlich vielen Stellen den Wert $0$ besitzen. Wenn man mit $e_s$ diejenige Abbildung bezeichnet, die an der Stelle $s$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ besitzt, so besteht
\mathl{K^{(S)}}{} aus allen endlichen Summen
\mathdisp {\sum_{s \in S} a_s e_s} { . }
Die $e_s$ bilden also eine \definitionsverweis {Basis}{}{} dieses Raumes.


Diese Konstruktion ist wiederum ein Spezialfall der \definitionsverweis {direkten Summe}{}{} von \zusatzklammer {im Allgemeinen} {} {} unendlich vielen $K$-Vektorräumen, und zwar wird hier die direkte Summe des Vektorraums $K$ mit sich selbst so oft genommen, wie es $S$ vorgibt.






\zwischenueberschrift{Das Tensorprodukt von Vektorräumen}

Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} seien $K$-Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{} in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$ eine Abbildung \maabbdisp {\psi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {W } {} ist, die in jeder Komponente $K$-linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum $U$ konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {U } {} derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung $\psi$ wie oben eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {L} {U} {W } {} mit
\mathl{\psi = L \circ \varphi}{} gibt. Dadurch werden multilineare Abbildungen auf lineare Abbildungen auf einem neuen Vektorraum zurückgeführt.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen
\mathl{(v_1 , \ldots , v_n)}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{v_i \in V_i}{}} {} {} erzeugte $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} \zusatzklammer {wir schreiben die Basiselemente als \mathlk{e_{(v_1 , \ldots , v_n) }}{}} {} {.} Es sei
\mathl{U \subseteq F}{} der von allen Elementen der Form \aufzaehlungzwei {
\mathl{r e_{ ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_i , v_{i+1} , \ldots , v_n ) } - e_{ ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , r v_i , v_{i+1} , \ldots , v_n) }}{,} } {
\mathl{e_{ ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , u+w , v_{i+1} , \ldots , v_n ) } - e_{ ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , u , v_{i+1} , \ldots , v_n )} - e_{ ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , w , v_{i+1} , \ldots , v_n ) }}{,} } erzeugte $K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $F$. Dann nennt man den \definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{F/U}{} das \definitionswort {Tensorprodukt}{} der
\mathbed {V_i} {}
{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }} {}
{} {} {} {.} Es wird mit
\mathdisp {V_1 \otimes_{ K } V_2 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n} { }
bezeichnet.

}

Häufig schreibt man einfach
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{.} Die Bilder von
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} in
\mathl{V_1 \otimes_K V_2 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n}{} bezeichnet man mit
\mathdisp {v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n} { . }
Dies ist also die \definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{} von
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} zu der durch den Untervektorraum $U$ gegebenen Äquivalenzrelation. Jedes Element aus
\mathl{V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n}{} besitzt eine \zusatzklammer {nicht eindeutige} {} {} Darstellung als
\mathdisp {a_1 v_{1,1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{1,n} + \cdots + a_m v_{m,1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{m,n}} { }
\zusatzklammer {mit \mathlk{a_i \in K}{} und \mathlk{v_{i,j} \in V_j}{}} {} {.} Insbesondere bilden die \stichwort {zerlegbaren Tensoren} {}
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} ein $K$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{i-1} \otimes rv_i \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ =} {v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{j-1} \otimes rv_j \otimes v_{j+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für beliebige
\mathl{i,j}{} und
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{i-1} \otimes (u+w) \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ =} {v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{i-1} \otimes u \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n + v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{i-1} \otimes w \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}




\inputbeispiel{}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_1 }
{ = }{\R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_1 }
{ = }{\R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind die Elemente aus $F$ \zusatzklammer {im Sinne der Definition 55.2} {} {} Linearkombinationen wie
\mathdisp {4 e_{ (\begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\-1\\ 5 \end{pmatrix} ) }-5e_{ (\begin{pmatrix} 1 \\7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\3\\ 4 \end{pmatrix} ) } + 6 e_{ (\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\7\\ 8 \end{pmatrix} ) }} { . }
Mit den Standardvektoren des $\R^2$ bzw. des $\R^3$ ist dies
\mathdisp {4 e_{ (3e_1 +2e_2, 6e_1 -e_2+5e_3 ) }-5e_{ e_1 +7e_2, 3e_1+3 e_2+4e_3 } + 6 e_{ ( 2e_1 + 4e_2, -4e_1 +7e_2+8e_3 ) }} { . }
Da die Tupel untereinander verschieden sind, kann man diesen Ausdruck in $F$ nicht vereinfachen. Das Bild dieses Elementes in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F/U }
{ = }{ \R^2 \otimes_{ \R } \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathdisp {4 (3e_1 +2e_2) \otimes ( 6e_1 -e_2+5e_3 ) -5 ( e_1 +7e_2) \otimes ( 3e_1+3 e_2+4e_3 ) +6 ( 2e_1 + 4e_2) \otimes ( -4e_1 +7e_2+8e_3 )} { . }
Diesen Ausdruck kann man wesentlich vereinfachen.


}

Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende \stichwort {universelle Eigenschaft} {.}





\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\pi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n } { { \left( v_1 , \ldots , v_n \right) } } {v_1 \otimes \cdots \otimes v_n } {,} ist $K$-\definitionsverweis {multilinear}{}{.} } {Es sei $W$ ein weiterer $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\psi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {W } {} eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\bar{\psi}} {V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n } {W } {} mit
\mathl{\psi = \bar{\psi} \circ \pi}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des \definitionsverweis {Tensorprodukts}{}{.} (2). Da die
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} ein $K$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von
\mathl{V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n}{} sind und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bar{\psi}(v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n) }
{ =} { \psi (v_1 , \ldots , v_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den $K$-Vektorraum $F$ aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die
\mathl{e_{ (v_1 , \ldots , v_n)}}{} bilden eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $F$, daher legt die Vorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\psi} { \left( e_{ (v_1 , \ldots , v_n)} \right) } }
{ \defeq} { \psi( v_1 , \ldots , v_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine lineare Abbildung \maabbdisp {\tilde{\psi}} {F} {W } {} fest. Wegen der \definitionsverweis {Multilinearität}{}{} von $\psi$ wird der Untervektorraum $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\overline{\psi}} {F/U \cong V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n} {W } {.}

}






\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen und Hom/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n , W \right) } } { \operatorname{ Mult}_{ } ^{ } { \left( V_1 , \ldots , V_n,W \right) } } {\varphi} { \varphi \circ \pi } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aus Lemma 55.4  (2) folgt unmittelbar, dass eine Bijektion vorliegt.

}






\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen nach K und Dualraum/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} \maabbeledisp {} { { { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n \right) } }^{ * } } { \operatorname{ Mult}_{ } ^{ } { \left( V_1 , \ldots , V_n, K \right) } } {\varphi} { \varphi \circ \pi } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt unmittelbar aus Korollar 55.5, angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ = }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}







\inputbemerkung
{}
{

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{V_1 }
{ = }{V_2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{W=K}{} sind die multilinearen Abbildungen von
\mathl{V_1 \times V_2}{} nach $W$ einfach die \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} auf $V$. Korollar 55.6 besagt in dieser Situation, dass der \definitionsverweis {Dualraum}{}{} zu
\mathl{V \otimes V}{} alle Bilinearformen repräsentiert. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} entspricht das Standardskalarprodukt \zusatzklammer {diese Bezeichnung ist nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} korrekt} {} {} der Linearform \maabb {\varphi} {V \otimes V} {K } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (e_i \otimes e_j) }
{ =} { \delta_{ij} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt ist.

}


Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf \zusatzklammer {eindeutige} {} {} Isomorphie festgelegt, damit ist folgendes gemeint.





\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Universelle Eigenschaft/Festlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktvoraussetzung {Es sei $Z$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} zusammen mit einer \definitionsverweis {multilinearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\rho} {V_1 \times \cdots \times V_n } {Z } {,} die zusammen die universelle Eigenschaft aus Lemma 55.4  (2) erfüllen.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n} {Z } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Da \maabb {} {V_1 \times \cdots \times V_n} {Z } {} multilinear ist, gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung \maabbdisp {} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } { Z } {.} Wegen der vorausgesetzten universellen Eigenschaft von $Z$ und der Multilinearität von \maabb {\pi} {V_1 \times \cdots \times V_n} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {} gibt es auch eine lineare Abbildung \maabbdisp {} {Z } {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {.} Wegen der universellen Eigenschaft müssen diese invers zueinander sein.

}

Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.





\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Rechengesetze.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für Vektoren
\mathl{v_j \in V_j}{} und
\mathl{c\in K}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_i \otimes cv_i \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ =} {c { \left( v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_i \otimes v_i \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für Vektoren
\mathl{v_j \in V_j}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_i \otimes 0 \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Es seien
\mathl{v_{1 j} , \ldots , v_{m_j j} \in V_j}{} und
\mathl{a_{i j} \in K}{.} Dann ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( \sum_{ i = 1 }^{m_1} a_{i 1} v_{i1} \right) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } { \left( \sum_{ i = 1 }^{m_n} a_{i n} v_{in} \right) } }
{ =} { \! \sum_{ (i_1 , \ldots , i_n ) \in \{1 , \ldots , m_1 \} \times \cdots \times \{1 , \ldots , m_n \} } \! a_{i_1} \cdots a_{i_n} v_{i_1 1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{i_n n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) ergibt sich unmittelbar aus der Konstruktion. (2) folgt aus (1). (3) folgt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.

}





\inputbeispiel{}
{

Im
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^2}{} gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} 5 \\-7 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -3 \\4 \end{pmatrix} }
{ =} { { \left( 5 e_1 -7 e_2\right) } \otimes { \left( -3e_1 +4e_2 \right) } }
{ =} { -15 e_1 \otimes e_1 +20 e_1 \otimes e_2 +21 e_2 \otimes e_1 - 28 e_2 \otimes e_2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/K und 0/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V \otimes_K 0 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V \otimes_K K }
{ =} {V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{v \otimes s}{} dem Vektor $sv$ entspricht. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) folgt aus Lemma 55.9  (2).

(2). Die Skalarmultiplikation \maabbeledisp {} {V \times K} {V } {(v,s)} { sv } {,} ist \definitionsverweis {multilinear}{}{,} daher gibt es nach Lemma 55.4 eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V \otimes K } { V } {v \otimes s} { sv } {.} Diese ist \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} da
\mathl{v \otimes 1}{} auf $v$ abgebildet wird. Ein Element im Tensorprodukt hat die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n a_i ( v_i \otimes s_i) }
{ =} {\sum_{i = 1}^n (a_i s_i) ( v_i \otimes 1) }
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^n a_i s_i v_i \right) } \otimes 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn dieses auf $0$ abgebildet wird, so ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n a_i s_i v_i }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit ist das Tensorelement auch $0$, die Abbildung ist also auch \definitionsverweis {injektiv}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien
\mathl{J_1 , \ldots , J_n}{} Indexmengen und
\mathdisp {v_{ij}, j \in J_i} { , }
Vektoren in $V_i$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn die Familien jeweils ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V_i$ bilden, so ist die Familie
\mathdisp {v_{1 j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{n j_n} \text{ mit } (j_1 , \ldots , j_n) \in J_1 \times \cdots \times J_n} { }
ein Erzeugendensystem von
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{.} }{Wenn die Familien jeweils \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} in $V_i$ sind, so ist die Familie
\mathdisp {v_{1 j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{n j_n} \text{ mit } (j_1 , \ldots , j_n) \in J_1 \times \cdots \times J_n} { }
linear unabhängig in
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{.} }{Wenn die Familien jeweils eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V_i$ bilden, so ist die Familie
\mathdisp {v_{1 j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{n j_n} \text{ mit } (j_1 , \ldots , j_n) \in J_1 \times \cdots \times J_n} { }
eine Basis von
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1). Nach Konstruktion bilden die zerlegbaren Tensoren
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} ein Erzeugendensystem des Tensorproduktes. Somit muss man nur von diesen nachweisen, dass sie als Linearkombination der gegebenen Familie darstellbar sind. Dies ergibt sich aber aus Lemma 55.9  (3).

(2). Zum Beweis können wir uns auf endliche Familien beschränken. Wir wollen Lemma 14.7 anwenden. Sei
\mathl{(r_1 , \ldots , r_n)}{} fixiert. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Familien
\mathl{v_{ij}}{} in $V_i$ gibt es Linearformen \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {K } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi_i (v_{i r_i} ) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi_i (v_{i j} ) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ \neq }{r_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist \maabbeledisp {} {V_1 \times \cdots \times V_n} {K } {(w_1 , \ldots , w_n)} { \varphi_1 (w_1) \cdots \varphi_n (w_n) } {,} nach Aufgabe 16.37 eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{.} Die gemäß Korollar 55.6 zugehörige lineare Abbildung \maabbdisp {} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {K } {} schickt
\mathl{v_{1 r_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{n r_n}}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi_1(v_{1 r_1} ) \cdots \varphi_n(v_{n r_n} ) }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und alle anderen Elemente
\mathl{v_{1 j_1} \cdots v_{n j_n}}{} der Familie auf $0$.

(3) folgt aus (1) und (2).

}






\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n \right) } }
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( V_1 \right) } \cdots \operatorname{dim}_{ } { \left( V_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt unmittelbar aus Satz 55.12  (3).

}






\inputbemerkung
{}
{

Wir verbinden das motivierende Beispiel 55.1 mit der allgemeinen Konstruktion des Tensorproduktes. Die Abbildung \zusatzklammer {mit der direkten Bedeutung von
\mathl{f \otimes g}{} aus dem Beispiel} {} {} \maabbeledisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) } } {(f,g)} { f \otimes g } {,} ist nach Aufgabe 16.5 \definitionsverweis {multilinear}{}{.} Nach Lemma 55.4  (2) gibt es daher eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung \maabbdisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \otimes_{ K } \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) } } {,} wobei sich die Tensorprodukte entsprechen. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass die Basiselemente
\mathl{e_{(i,j)}}{} im Bild liegen. Die Injektivität ergibt sich aus Korollar 55.13.

}