Kurs:Maß- und Integrationstheorie/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 3 5 5 9 3 0 11 7 0 0 4 0 3 61



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die von einem Mengensystem auf einer Menge erzeugte -Algebra .
  2. Die Fortsetzung eines äußeren Maßes

    auf einem Präring auf einer Menge .

  3. Eine maßtreue Abbildung

    zwischen Maßräumen und .

  4. Eine integrierbare Funktion auf einem - endlichen Maßraum .
  5. Der -Raum zu einem Maßraum und einer reellen Zahl .
  6. Das -te Bernoulli-Polynom .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über translationsinvariante Maße auf dem .
  2. Die Formel für für eine Borelmenge unter einer linearen Abbildung .
  3. Die Minkowskische Ungleichung.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine messbare Teilmenge und es sei

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle die Menge abzählbar sei. Zeige


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Messbarkeitskriterium für Abbildungen.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Messraum und und seien Maße darauf.

a) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius cm, der Topf sei cm hoch und auf die Höhe von cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?


Aufgabe * (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

der obere Einheitshalbkreis und

die Projektion auf die -Achse. Zu seien Punkte auf gleichverteilt in dem Sinne, dass und dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für einschließlich der Bildpunkte unter .

b) Es sei das Zählmaß auf , bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert erhält und es sei

das zugehörige Bildmaß auf . Man gebe eine Formel für

() mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (11 (3+8) Punkte)

Es sollen drei Kugeln mit Radius straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.


Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei eine beschränkte reelle Folge,

eine stetige Abbildung und die Bildfolge. Es sei die Menge der Häufungspunkte von und die Menge der Häufungspunkte von .

a) Zeige .

b) Zeige

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass vollständig ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das -te Tschebyschow-Polynom auf die Identität

erfüllt.