Kurs:Maß- und Integrationstheorie/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	3	5	5	9	3	0	11	7	0	0	4	0	3	61

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die von einem Mengensystem ${}{\mathcal {E}}$ auf einer Menge ${}M$ erzeugte ${}\sigma$ -Algebra ${}\sigma ({\mathcal {E}})$ .
Die Fortsetzung eines äußeren Maßes
$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$ .
Eine maßtreue Abbildung
$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ .
Eine integrierbare Funktion auf einem ${}\sigma$ - endlichen Maßraum ${}M$ .
Der ${}L^{p}$ -Raum zu einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und einer reellen Zahl ${}p\geq 1$ .
Das ${}n$ -te Bernoulli-Polynom ${}B_{n}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über translationsinvariante Maße auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ .
Die Formel für ${}\lambda ^{n}(L(S))$ für eine Borelmenge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung ${}L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ .
Die Minkowskische Ungleichung.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-1}

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R} ^{n-1}$ die Menge ${}T\cap \varphi ^{-1}(x)$ abzählbar sei. Zeige

{}\lambda ^{n}(T)=0\,.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Messbarkeitskriterium für Abbildungen.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}\mu$ und ${}\nu$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

{}(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

{}(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${}13$ cm, der Topf sei ${}10$ cm hoch und auf die Höhe von ${}7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${}8{,}8$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ${}\pi =3{,}14$ ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Aufgabe * (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

{}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,

der obere Einheitshalbkreis und

p\colon M\longrightarrow [-1,1],\,(x,y)\longmapsto x,

die Projektion auf die ${}x$ -Achse. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ seien ${}n+1$ Punkte auf ${}M$ gleichverteilt in dem Sinne, dass ${}(1,0)$ und ${}(-1,0)$ dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für ${}n=7$ einschließlich der Bildpunkte unter ${}p$ .

b) Es sei ${}\mu _{n}$ das Zählmaß auf ${}M$ , bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert ${}1$ erhält und es sei

{}\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,

das zugehörige Bildmaß auf ${}[-1,1]$ . Man gebe eine Formel für

\nu _{n}([t,1])

( ${}t\in [-1,1]$ ) mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme

\lim _{n\rightarrow \infty }\nu _{n}([1-{\frac {2}{n}},1]).

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

{}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$ .

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (11 (3+8) Punkte)

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge,

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Abbildung und ${}y_{n}=f(x_{n})$ die Bildfolge. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}G$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ .