Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Information/Inhalt
Die Vorlesung „Maß- und Integrationstheorie“ (bzw. „Analysis III“) ist eine Fortsetzung von Analysis II und richtet sich an Studierende im dritten Semester. Sie ergänzt sich besonderes gut mit einer Vorlesung über Wahrscheinlichkeitstheorie, die in der Sprache der Maßtheorie formuliert wird. Im Mittelpunkt steht die Maßtheorie, bei der es darum geht, möglichst vielen Teilmengen des ein sinnvolles Volumen zuzuordnen und Methoden zu entwickeln, mit denen diese Volumina berechnet werden können.
Die Maßtheorie ist eng verzahnt mit der Integrationstheorie im Lebesgueschen Sinne, die das riemannsche Integral in viele Richtungen verallgemeinert. Einerseits ist ein bestimmtes Integral der Flächeninhalt bzw. allgemeiner das Volumen unterhalb eines Graphen, andererseits kann man mit Integration Volumina von sehr verschiedenen Objekten berechnen (Rotationskörper, Kegel, Kugel, Schwerpunkt). Höhepunkte in der ersten Hälfte sind der Existenzsatz für das Borel-Lebesgue-Maß, die Begründung des Cavalieri-Prinzips, der Satz von Fubini über Mehrfachintegrale, die Transformationsformel für Integrale (eine höherdimensionale Verallgemeinerung der Substitutionsregel).
In der zweiten Hälfte stehen diejenigen Funktionenräume im Mittelpunkt, die durch messbare bzw. integrierbare bzw. stetige Funktionen auf Maßräumen gegeben sind, sowie ihre Beziehungen untereinander. Um diese Räume erfassen zu können müssen stärker Konzepte aus der Topologie und der linearen Algebra herangezogen werden wie kompakter Raum, normaler Raum, Banachraum, Hilbertraum. Wichtige Anwendungen wie Fourierreihen (Darstellung von Schwingungen) ergeben sich dann wie von selbst. Integrale über einem zweidimensionalen Bereich führen, indem man eine Variable fixiert und über die andere integriert, zu sogenannten Integraltransformationen mit Integralkernen. Ein wichtiges Beispiel ist die Fourier-Transformation und auch Integralgleichungen gehören in diesen Kontext.
Ein durchziehendes Prinzip wie schon in Analysis I und II ist das der Approximation. Dies zeigt sich schon bei den Rechenregeln für ein Maß, in der Definition des äußeren Maßes, in den Konvergenzsätzen, etwa im Satz von der majorisierten Konvergenz, im Approximationssatz von Stone-Weierstrass, in Dichtheitssätzen für Lebesgueräume, im Konzept eines vollständigen Orthonormalsystems mit der Entwicklung in Fourierreihen und Tschebyschow-Polynomen als Spezialfällen.