Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Ferienblatt 1
- Aufwärmaufgaben
Zeige: Für mit gilt
Es sei und . Zeige, dass die Bedingung sowohl als auch die Irrationalität des Quotienten impliziert.
Es seien und Folgen reeller Zahlen und sei die Folge definiert durch und . Zeige, dass genau dann konvergiert, wenn und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.
Die Folge sei rekursiv gegeben durch
Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:
- ,
- ,
- .
Sei eine reelle Folge wobei alle nicht negativ sind. Zeige, dass die Folge
gegen das Supremum der Menge konvergiert.
Zeige mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die durch
rekursiv definierte Folge konvergiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für jede reelle Zahl die Ungleichung erfüllt ist. Wann gilt Gleichheit?
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei und , . Zeige, dass gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte die durch rekursiv definierte Folge .
Ist beschränkt? Konvergiert die Folge?
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei und eine reelle Folge. Zeige die folgende Aussage:
Gilt ab einem die Ungleichung , so ist eine Cauchy-Folge.
Ist die Aussage immer noch richtig, wenn man durch ersetzt?
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei . Zeige die folgende Aussage: Sind und ist , so ist auch .
Aufgabe (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
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