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Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Ferienblatt 1

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Aufwärmaufgaben

Zeige: Für mit gilt



Es sei und . Zeige, dass die Bedingung sowohl als auch die Irrationalität des Quotienten impliziert.



Es seien und Folgen reeller Zahlen und sei die Folge definiert durch und . Zeige, dass genau dann konvergiert, wenn und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.



Die Folge sei rekursiv gegeben durch

wobei . Zeige, dass konvergiert und berechne den Grenzwert.



Bestimme den Grenzwert der Folge .



Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:

  1. ,
  2. ,
  3. .



Sei eine reelle Folge wobei alle nicht negativ sind. Zeige, dass die Folge

gegen das Supremum der Menge konvergiert.



Zeige mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die durch

rekursiv definierte Folge konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei und . Zeige, dass aus entweder oder folgt.



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede reelle Zahl die Ungleichung erfüllt ist. Wann gilt Gleichheit?



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und , . Zeige, dass gilt.



Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die durch rekursiv definierte Folge .

Ist beschränkt? Konvergiert die Folge?



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge



Aufgabe (4 Punkte)

Konvergiert die Folge ?



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und eine reelle Folge. Zeige die folgende Aussage:

Gilt ab einem die Ungleichung , so ist eine Cauchy-Folge.

Ist die Aussage immer noch richtig, wenn man durch ersetzt?



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Zeige die folgende Aussage: Sind und ist , so ist auch .



Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


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