Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Ferienblatt 2

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme eine Basis des Untervektorraums

${}U={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x=z\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.$

Aufgabe

Sind die reellen Zahlen ${}1,\,{\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ ?

Aufgabe

Es sei ${}A={\begin{pmatrix}3&1&5\\-1&0&2\end{pmatrix}}$ und

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto A\cdot x$

die zugehörige lineare Abbildung.

1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von ${}\operatorname {kern} f$ und ${}\operatorname {bild} f$.
2. Finde einen Untervektorraum ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ derart, dass

   ${}\mathbb {R} ^{3}=V\oplus \operatorname {kern} f\,$

   gilt.

3. Gibt es auch einen Untervektorraum ${}U\subset \mathbb {R} ^{2}$, ${}U\neq 0$, mit ${}\mathbb {R} ^{2}=U\oplus \operatorname {bild} f$?

(${}\oplus$ bezeichnet die direkte Summe; siehe Aufgabenblatt 18)

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und ${}C^{2}(I,\mathbb {R} )$ der ${}\mathbb {R}$-Vektorraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf ${}I$. Betrachte die Abbildung

$d\colon C^{2}(I,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{1}(I,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f'.$

1. Zeige, dass ${}d$ eine ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung ist.
2. Bestimme eine Basis von ${}\operatorname {Kern} (d)\,$.

Aufgabe

Es sei die lineare Abbildung ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ durch ${}f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)$ definiert.

1. Bestimme die zu ${}f$ korrespondierende Matrix ${}A$. Ist ${}f$ injektiv?
2. Es sei ${}{\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben durch

   $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   und sei ${}{\mathcal {B}}'=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{4}$ gegeben durch

   $w_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,w_{4}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

   Berechne ${}A_{{\mathcal {B}}'}^{\mathcal {B}}(f)$.

Aufgabe

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-5&0&7\\6&2&-6\\-4&0&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Bestätige

${}\Vert {x+y}\Vert ^{2}-\Vert {x-y}\Vert ^{2}=4\left\langle x,y\right\rangle \,.$

Aufgabe

Wir arbeiten auf dem ${}\mathbb {R}$-Vektorraum ${}V=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen ${}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Für ${}i\in \mathbb {N}$ und ${}f\in V$ sei ${}\Vert {f}\Vert _{i}\,:=\operatorname {max} {\left\{\vert {f(x)}\vert \mid x\in [-i,i]\right\}}$. Zeige, dass

${}d(f,g):=\sum _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {\Vert {f-g}\Vert _{i}}{1+\Vert {f-g}\Vert _{i}}}\,$

eine Metrik auf dem Raum ${}V$ definiert. Zeige weiter, dass keine Norm ${}\Vert {-}\Vert :V\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ existiert mit ${}\Vert {f-g}\Vert =d(f,g)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Basis des Untervektorraums ${}U=\{\varphi \in \operatorname {Abb} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} ):\varphi (x)=0{\mbox{ bis auf endlich viele }}x\in \mathbb {R} \}\subset \operatorname {Abb} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\,$.

Aufgabe (3 Punkte)

Ist ${}\operatorname {dim} _{\mathbb {Q} }\,\mathbb {R} <\infty$?

Hinweis: Verwende die Tatsache (ohne Beweis), dass ${}\mathbb {R}$ nicht abzählbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sind die Funktionen ${}f_{n}(x):={\frac {1}{n+x}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, linear unabhängig im ${}\mathbb {R}$-Vektorraum ${}\operatorname {Abb} (\mathbb {R} _{>0},\mathbb {R} )$?

Aufgabe (4 Punkte)

Seien

$A={\begin{pmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} ){\mbox{ und }}b={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}.$

Bestimme

1. ${}\operatorname {Rang} (A)$;
2. eine Basis und die Dimension des Lösungsraums des homogenen Gleichungssystems ${}A\cdot x=0$;
3. die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems ${}A\cdot x=b$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&5\\4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Es sei ${}U\subseteq K^{3}$ der durch die lineare Gleichung ${}2x+3y+4z=0$ definierte Untervektorraum von ${}K^{3}$, und ${}\psi$ sei die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$. Zu ${}U$ gehören Vektoren der Form

$u=(0,1,a),\,v=(1,0,b){\text{ und }}w=(1,c,0).$

Berechne ${}a,b,c$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

${\mathfrak {b}}_{1}=v,w,\,{\mathfrak {b}}_{2}=u,w{\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{3}=u,v$

von ${}U$ sowie die beschreibenden Matrizen für ${}\psi$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ${}K^{2}$).

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&1&0&-2\\1&3&3&-1\\3&2&4&-3\\2&-2&2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Bestätige

${}\Vert {x+y}\Vert ^{2}+\Vert {x-y}\Vert ^{2}=2\Vert {x}\Vert ^{2}+2\Vert {y}\Vert ^{2}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$. Zeige, dass für die Norm ${}\Vert {x}\Vert :=\operatorname {max} \{\vert {x_{i}}\vert :1\leq i\leq n\}$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ kein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ mit der Eigenschaft ${}\Vert {x}\Vert ={\sqrt {\left\langle x,x\right\rangle }}$ existiert.

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