Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ).
  2. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  3. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  4. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
  5. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  6. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  7. Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
  8. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
  2. Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung.
  3. Der Sylvestersche Trägheitssatz über eine symmetrische Bilinearform.
  4. Der Banachsche Fixpunktsatz.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

mittels Partialbruchzerlegung.


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .


Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.


Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale -Vektorräume sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem









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