Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 47/latex
\setcounter{section}{47}
\zwischenueberschrift{Minorenkriterien für symmetrische Bilinearformen\zusatzfussnote {Unter einem \stichwort {Minor} {} versteht man die Determinante einer quadratischen Untermatrix einer Matrix. Man könnte also genauso gut von einem Determinantenkriterium sprechen} {.} {}}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
$D_k$ der
\definitionsverweis {quadratischen}{}{}
\definitionsverweis {Untermatrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_k
}
{ =} { ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
seien für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
\mathdisp {D_0=1,\, D_1= \det M_1 ,\, D_2 = \det M_2 , \ldots , D_n = \det M_n = \det G} { . }
}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-a,a)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach
Aufgabe 47.1
die Bilinearform
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
und daher hat der Typ die Form
\mathl{(n-q,q)}{.} Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension
\mathl{n-1}{} bewiesen und es liege ein $n$-dimensionaler Raum mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_{n-1} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat die Dimension
\mathl{n-1}{} und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
zur eingeschränkten Form
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U}{} stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_n
}
{ =} { \det M_n
}
{ =} { \det G
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U}{} den Typ
\mathl{(n-1-b,b)}{,} wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
\mathdisp {D_0=1,\, D_1 , \ldots , D_{n-1}} { }
ist. Aufgrund der Definition des
\definitionsverweis {Typs}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \leq} {q
}
{ \leq} {b+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ein $q$-dimensionaler Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf dem die Bilinearform
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
ist, zu einem Untervektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W'
}
{ =} {U \cap W
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt, der die Dimension
\mathkor {} {q} {oder} {q-1} {}
besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach
Aufgabe 47.2
ist das Vorzeichen von
\mathl{D_{n-1}}{} gleich
\mathl{(-1)^b}{} und das Vorzeichen von
\mathl{D_n}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{.} Das bedeutet, dass zwischen
\mathkor {} {D_{n-1}} {und} {D_n} {}
ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel
\zusatzklammer {und somit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a
}
{ = }{b+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
genau dann vorliegt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {b+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis und es seien $D_k$ die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratischen}{}{}
\definitionsverweis {Untermatrizen}{}{}
\mathdisp {M_k = ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq k}, \, k=1 , \ldots , n} { . }
}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,}
wenn alle $D_k$ positiv sind.
} {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{,}
wenn das Vorzeichen in der Folge
\mathl{D_0=1,\, D_1, \, D_2 , \ldots , D_n}{} an jeder Stelle wechselt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). \teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Bilinearform
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist, so ist nach
Aufgabe 47.2
das Vorzeichen der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{ \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus
Satz 47.1, dass die Bilinearform positiv definit ist.}
{}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also
\mathl{- \left\langle - , - \right\rangle}{,} betrachtet.}
{}
\zwischenueberschrift{Die Taylor-Formel - Vorbereitungen}
Ein Polynom in $n$ Variablen,
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} {\sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n} a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wobei die Summe endlich ist} {} {}
lässt sich entlang des Grades des Exponententupels, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \, r \, }
}
{ =} { \betrag { \, (r_1 , \ldots , r_n) \, }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n r_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} anordnen, also
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} {\sum_{d = 0}^{e} \left( \sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n,\,\betrag { \, r \, } = d } a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für jedes
\mathl{k \in \N}{} kann man dies auch schreiben als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} {T_k(x_1 , \ldots , x_n) + R_k(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\zusatzklammer {\mathlk{x=(x_1 , \ldots , x_n)}{}} {} {}
\mathdisp {T_k(x) = \sum_{d = 0}^{k} \left( \sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n,\,\betrag { \, r \, } = d } a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} \right)} { }
und
\mathdisp {R_k(x) = \sum_{d = k+1}^{e} \left( \sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n,\,\betrag { \, r \, } = d } a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} \right)} { . }
Für
\mathl{R_k}{} gilt dabei
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {R_k(x)} \Vert }{ \Vert {x} \Vert^k } } = 0} { . }
Bei
\mathl{k=1}{} ist
\mathdisp {T_1(x) = a_{(0 , \ldots , 0) }+ a_{(1,0 , \ldots , 0) }x_1 + \cdots + a_{(0 , \ldots , 0,1) }x_n} { }
die
\definitionsverweis {lineare Approximation}{}{}
von $f$ im Punkt
\mathl{0=(0 , \ldots , 0)}{,} und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung
\mathl{r(x) = { \frac{ R_1(x) }{ \Vert {x} \Vert } }}{.} Im Allgemeinen liefern die Polynome
\mathl{T_k(x)}{} bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approxmation, und mit
\mathl{R_k(x)}{} kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen $f$ approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der \stichwort {Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen} {.}
Zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ (r_1 , \ldots , r_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{r}
}
{ \defeq} { x_1^{ r_1} \cdots x_n^{ r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { \sum_{( r_1 , \ldots , r_n ) \in \N^n} a_{( r_1 , \ldots , r_n )} x_1^{ r_1} x_2^{ r_2} \cdots x_n^{ r_n}
}
{ =} { \sum_{ r \in \N^n} a_{ r } x^{ r }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn $V$ ein $\R$-Vektorraum mit einer Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{} ist, so setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_i
}
{ \defeq }{ D_{ w_i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ (r_1 , \ldots , r_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D^{ r }
}
{ \defeq} {D_1^{ r_1} \circ D_2^{ r_2} \circ \cdots \circ D_n^{ r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im $\R^n$, versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man
aufgrund des Satzes von Schwarz
unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ (r_1 , \ldots , r_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \stichwort {Fakultät} {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r !
}
{ \defeq} { r_1 ! \cdots r_n !
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n r_j
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \stichwort {Multinomialkoeffizienten} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Polynomialkoeffizienten} {}} {} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{ k }{ r }
}
{ \defeq} { { \frac{ k! }{ r! } }
}
{ =} { \frac{ {k}!}{ r_1! r_2! \cdots r_{n}!}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bevor wir die Taylor-Formel beweisen, die das lokale Verhalten einer Funktion in einer \anfuehrung{kleinen}{} offenen Ballumgebung eines Punktes beschreibt, wenden wir uns dem lokalen Verhalten in dem Punkt längs einer fixierten Richtung zu, wofür wir die Taylor-Formel in einer Variablen zur Verfügung haben. Zu einer Funktion
\zusatzklammer {\mathlk{G \subseteq V}{,} $V$ euklidischer Vektorraum} {} {}
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
ist die Differenzierbarkeit im Punkt
\mathl{P \in G}{} in Richtung
\mathl{v \in V}{} äquivalent zur Differenzierbarkeit der Funktion
\maabbeledisp {h} {I} {\R
} {t} {h(t) = f(P+tv)
} {,}
für
\mathl{t=0}{,} wobei $I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Wir werden zunächst zeigen, dass eine entsprechende Beziehung auch für höhere Ableitungen gilt.
\inputfaktbeweis
{Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}}
\faktvoraussetzung {eine $k$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ (v_1 , \ldots , v_n)
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine fixierte Richtung. Es sei
\maabbeledisp {h} {I} {\R
} {t} {h(t) = f(P+tv)
} {,}
wobei $I$ ein offenes Intervall um $0$ sei mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P+tv
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $h$ ebenfalls $k$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{,}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{(k)}(t)
}
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ k! }{ r ! } } D^{ r } f (P+tv) \cdot v^{ r }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen durch Induktion über $k$, dass
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{h^{(k)}(t)
}
{ =} {\sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge $k$ aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{h'(t)
}
{ =} { { \left( D_{v} f \right) } { \left( P+tv \right) }
}
{ =} { { \left( Df \right) }_{P+tv} { \left( v \right) }
}
{ =} { { \left( Df \right) }_{P+tv} { \left( \sum_{j = 1}^n v_je_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n v_j \cdot { \left( Df \right) }_{P+tv} { \left( e_j \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sum_{j = 1}^n v_j \cdot D_j f (P+tv)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Der Induktionsschluss ergibt sich aus
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{h^{(k+1)}(t)
}
{ =} {( h^{(k)} (t) )'
}
{ =} { { \left( \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} \right) }'
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n D_j { \left( \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} \right) } v_j
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n { \left( \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_j D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} v_j \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k,j) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^{k+1} } D_j D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} v_j
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}\teilbeweis {}{}{}
{
Aufgrund des
Satzes von Schwarz
kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel
\mathl{(i_1 , \ldots , i_k)}{} in
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }^k}{,} bei denen die Zahl $i$ genau $r_i$-mal vorkommt, wird durch die
\definitionsverweis {Polynomialkoeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { k } { r }
}
{ =} { { \frac{ k! }{ r! } }
}
{ =} { { \frac{ k! }{ r_1! \cdots r_n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben.}
{\leerzeichen{}Daraus ergibt sich die Behauptung.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge,
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine $k$-mal
\definitionsverweis {stetig-differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißt
\mathdisp {\sum_{ r = { \left( r_1 , \ldots , r_n \right) } ,\, \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^rf(P) \cdot v^r} { }
das \definitionswort {Taylor-Polynom vom Grad}{}
$\leq k$ zu $f$ in $P$.
}
\inputfaktbeweis
{Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}}
\faktvoraussetzung {eine $(k+1)$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Strecke von
\mathkor {} {P} {nach} {P+v} {}
ganz in $G$ liegt. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ f(P+v)
}
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k+1 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+cv) \cdot v^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Funktion
\maabbeledisp {h} {{]{-\delta},1+ \delta [}} {\R
} {t} {h(t) = f(P+tv)
} {,}
\zusatzklammer {mit einem geeigneten
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist nach
Satz 47.3
\mathl{(k+1)}{-}mal
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
Aufgrund der
Taylor-Formel für eine Variable
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzfussnote {Der Beweis der Taylor-Formel für eine Variable
zeigt, dass $c$ zwischen den beiden beteiligten Punkten gewählt werden kann} {.} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(1)
}
{ =} { \sum_{j = 0}^k { \frac{ h^{(j)}(0) }{ j! } } + { \frac{ h^{(k+1)}(c) }{ (k+1) ! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir drücken die einzelnen Summanden mit Hilfe von
Satz 47.3
aus und erhalten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ f(P+v)
}
{ =} { h(1)
}
{ =} { \sum_{j = 0}^k { \frac{ h^{(j)}(0) }{ j! } } + { \frac{ h^{(k+1)}(c) }{ (k+1) ! } }
}
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r ! } } D^{ r } f (P) \cdot v^{ r } + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k+1 } { \frac{ 1 }{ r ! } } D^{ r } f (P+cv) \cdot v^{ r }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
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