Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 74/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Integral

\int _{Q}xy\,d\lambda ^{2}

über dem Quader

{}Q=[a,b]\times [c,d]

.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen ${}1$ und ${}3$ . Berechne das Integral

\int _{G}x^{2}+xy-y^{3}\,d\lambda ^{2}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ${}M$ ein Mengen-Präring ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei

g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung

{\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \int _{T}g\,d\mu

ein Maß auf ${}M$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ , das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).

Berechne das Minimum und das Maximum von

{}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert

auf dem Quadrat

{}Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]

. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für

{}\lambda ^{2}(\varphi (Q))

?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$ . Berechne die Integrale

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$ ,

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$ .

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Integral zur Funktion ${}f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))$ über dem Rechteck ${}Q=[0,3\pi ]\times [0,1]$ .

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\frac {2uv}{(u^{2}+1)(v^{2}+v+1)}}.

Für welche Quadrate ${}Q=[a,a+1]\times [b,b+1]$ der Kantenlänge ${}1$ wird das Integral

\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}

maximal? Welchen Wert besitzt es?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf den beiden Quadraten ${}Q_{1}=[0,1]\times [0,1]$ und ${}Q_{2}=[1,2]\times [1,2]$ . Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))$ und für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))$ ?