Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/11/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	3	4	3	4	5	5	3	3	3	5	4	4	1	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt „Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren“. Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt „Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen“. Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt „Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen“.

Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse die lineare Gleichung

{}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Summe

\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$ , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$ , in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien die beiden Polynome

P=X^{2}+3X-5\,\,{\text{  und }}\,\,Q=X^{2}-4X+7

gegeben.

a) Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von ${}P(Q)$ direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}f(x)=a^{x}\,

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$ . Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$ -Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

{}s(x+1)=s(x)+1\,.

Skizziere die Situation.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

{}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion ${}f(x)=x+\sin x$ streng wachsend ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 2$ zur Funktion ${}f(x)=e^{x^{3}}$ im Nullpunkt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}W$ ein ${}n$ -dimensionaler ${}K$ -Vektorraum ( ${}K$ ein Körper) und seien ${}U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension ${}\operatorname {dim} _{}\left(U\right)=r$ und ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=s$ . Es gelte ${}r+s>n$ . Zeige, dass ${}U\cap V\neq 0$ ist.