Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/17/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	$\sum$
Punkte	3	3	2	6	3	8	7	2	4	2	2	5	5	3	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

$p$	$q$	$r$	$?$
w	w	w	f
w	w	f	f
w	f	w	w
w	f	f	f
f	w	w	f
f	w	f	f
f	f	w	w
f	f	f	w

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Zu $n \in ℕ$ sei

[n] = {0, 1, 2, \dots, n} .

Zu jedem $n \in ℕ$ und jedem $0 \leq k \leq n$ seien die Abbildungen

D_{k} : [n] ⟶ [n + 1]

durch

D_{k} (j) = {\begin{matrix} j, falls j < k, \\ j + 1 sonst, \end{matrix}

und die Abbildungen

S_{k} : [n + 1] ⟶ [n]

durch

S_{k} (j) = {\begin{matrix} j, falls j \leq k, \\ j - 1 sonst, \end{matrix}

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

D_{3} : [4] ⟶ [5] .

b) Erstelle eine Wertetabelle für

S_{3} : [6] ⟶ [5] .

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

$j$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$φ (j)$	$0$	$2$	$2$	$4$	$5$	$5$

gegebene Abbildung

φ : [5] ⟶ [5]

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten $D_{k}$ und $S_{i}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens $200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ mit

x_{n} = (- 1)^{n + 1} \frac{1}{n},

also

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \dots,

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{6} \dots,

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.

Aufgabe * (7 (3+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

\sin \frac{π}{4} = \cos \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} .

b)

\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} .

c)

\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

y = \frac{1}{7}

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

f : ℝ ⟶ ℝ

vom Grad $d \geq 1$ maximal $d - 1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

\ln : ℝ_{+} ⟶ ℝ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert

\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x} - 1} .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jedes $n \in ℕ_{+}$ die Abschätzung

\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} \leq \ln 2

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ auf dem Intervall $[1, 2]$ .

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Der $ℝ$ -Vektorraum $ℝ^{2}$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

Die Punktmenge ${(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}$ .
Die Gerade
${(x, y) ∣ y = 3 x} .$
Das Achsenkreuz
${(x, y) ∣ x = 0 oder y = 0} .$
Die Hyperbel
${(x, y) ∣ x y = 1} .$
Die Parabel
${(x, y) ∣ y = x^{2}} .$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und es seien $v_{1}, v_{2}, v_{3} \in V$ Vektoren. Zeige, dass $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn $v_{1}, v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2} + v_{3}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Zeitungen $A, B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $8000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $75 %$ bei $A$ , $10 %$ wechseln zu $B$ , $0 %$ wechseln zu $C$ und $15 %$ werden Nichtleser.
Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $70 %$ bei $B$ , $10 %$ wechseln zu $A$ , $10 %$ wechseln zu $C$ und $10 %$ werden Nichtleser.
Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $50 %$ bei $C$ , $5 %$ wechseln zu $A$ , $20 %$ wechseln zu $B$ und $25 %$ werden Nichtleser.
Von den Nichtlesern entscheiden sich je $15 %$ für ein Abonnement von $A, B$ oder $C$ , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $1500$ Abonnenten und es gibt $3500$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $8000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.