Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/39/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	5	1	4	2	4	4	4	3	4	8	4	5	1	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Eine Folge reeller Zahlen.
3. Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen.
4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.
5. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Produktregel für reelle Folgen.
2. Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
3. Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}r$ ${}?$ w w w w w w f f w f w w w f f f f w w f f w f w f f w f f f f w

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}$ und ${}N_{1},\ldots ,N_{k}$ nichtleere Mengen und

$\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N_{i}$

Abbildungen für ${}i=1,\ldots ,k$. Es sei ${}M=M_{1}\times \cdots \times M_{k}$, ${}N=N_{1}\times \cdots \times N_{k}$, und ${}\varphi$ die Produktabbildung, also

$\varphi \colon M\longrightarrow N,\,(x_{1},\ldots ,x_{k})\longmapsto (\varphi _{1}(x_{1}),\ldots ,\varphi _{k}(x_{k})).$

a) Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle ${}\varphi _{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl ${}n$ derart, dass

${}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen ${}x\neq 0$ der Ungleichung

${}{\frac {\,\,{\frac {3}{x}}\,\,}{\,\,{\frac {-7}{4}}\,\,}}>-1\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in ${}\mathbb {R}$ eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(0)=0$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge. Zu ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ bezeichne ${}f^{k}$ die ${}k$-fache Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst.

1. Sei ${}k$ fixiert. Zeige, dass die Folge ${}f^{k}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Nullfolge ist.
2. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge ${}f^{n}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, keine Nullfolge sein muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Die beiden lokalen Extrema der Funktion

${}f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1\,$

definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))).

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x\geq 1$, die Gleichheit

${}\,\operatorname {arcosh} \,x\,=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die Sinusfunktion

${}f(x)=\sin x\,$

auf ${}[0,\pi ]$ und den oberen Halbkreis (mit Radius ${}{\frac {\pi }{2}}$) oberhalb dieses Intervalls.

1. Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion ${}g(x)$.
2. Zeige, dass

   ${}g(x)\geq f(x)\,$

   für alle ${}x\in [0,\pi ]$ gilt. Tipp: Betrachte die Situation für ${}0\leq x\leq \pi /6$ und für ${}\pi /6\leq x\leq \pi /2$.

3. Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in ${}K^{m}$ sind.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien ${}A$ und ${}B$ quadratische Matrizen über einem Körper ${}K$. Zeige

${}\det \left(A\circ B\right)=\det \left(B\circ A\right)\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.