Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/39/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 3 5 1 4 2 4 4 4 3 4 8 4 5 1 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Eine Folge reeller Zahlen.
  3. Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen und reeller Zahlen.
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Produktregel für reelle Folgen.
  2. Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  3. Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w w
w w f f
w f w w
w f f f
f w w f
f w f w
f f w f
f f f w


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl derart, dass

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei eine stetige Funktion mit und sei eine Nullfolge. Zu bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.

  1. Sei fixiert. Zeige, dass die Folge , , eine Nullfolge ist.
  2. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge , , keine Nullfolge sein muss.


Aufgabe * (4 Punkte)

Die beiden lokalen Extrema der Funktion

definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.


Aufgabe * (3 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für , , die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die Sinusfunktion

auf und den oberen Halbkreis oberhalb dieses Intervalls.

  1. Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als Graph einer Funktion .
  2. Zeige, dass

    für alle gilt. Tipp: Betrachte die Situation für und für .

  3. Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in sind.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien und quadratische Matrizen über einem Körper . Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.