Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/45/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 4 4 3 2 4 3 4 7 2 3 2 4 4 2 1 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Eine reelle Intervallschachtelung.
  3. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .

  5. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  6. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die geometrische Reihe.
  2. Die Taylor-Formel für eine -mal differenzierbare Funktion
    auf einem reellen Intervall für einen inneren Punkt .
  3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige

durch vollständige Induktion ().


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.


Aufgabe * (2 Punkte)

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa pro ( Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und seien verschiedene Zahlen und Zahlen gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom vom Grad gibt, das für alle erfüllt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Untersuche die Reihe

auf Konvergenz.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ist?


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.


Aufgabe * (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).





Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme den Flächeninhalt des durch die -Achse und den Graphen von eingeschränkten Gebietes.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Zeige .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

stehen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.