Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/52/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	4	2	5	2	3	2	5	4	5	7	1	5	1	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge

{}M=\{a,b,c,d\}\,

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}a$
${}b$	${}d$	${}a$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$ .

Berechne
$b\star (a\star (d\star a)).$
Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n$ -elementige Menge. Zeige durch Induktion über ${}k$ , dass die Anzahl der ${}k$ -elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

{\binom {n}{k}}

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Schreibe die Menge

]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche

{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{  und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl mit ${}b<0$ . Zeige, dass

{}v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,

eine Quadratwurzel von ${}z$ ist.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Produkt
${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$ .
Berechne das Produkt
${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-5x-9.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei reelle Folgen. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ . Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei ${}y=1$ jeweils tangential schneidet.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Die sogenannten Bernoulli-Polynome ${}B_{n}$ für ${}n\in \mathbb {N}$ sind Polynome vom Grad ${}n$ , die rekursiv definiert werden: ${}B_{0}$ ist das konstante Polynom mit dem Wert ${}1$ . Das Polynom ${}B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom ${}B_{n}$ über die beiden Bedingungen: ${}B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von ${}(n+1)B_{n}$ und es ist

{}\int _{0}^{1}B_{n+1}(x)dx=0\,.

Berechne ${}B_{1}$ .
Berechne ${}B_{2}$ .
Berechne ${}B_{3}$ .

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis eines dreidimensionalen ${}K$ - Vektorraumes ${}V$ .

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=v_{1},v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$ .

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}$ besitzt.