Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/54/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	5	6	3	3	3	1	7	3	5	3	3	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.
2. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
3. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

4. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

5. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

6. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
2. Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.
3. Der Satz über ${}n$ Vektoren in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.

Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus ${}a\cdot b$ rechteckigen Teilstücken besteht (${}a$ beziehe sich auf die Länge). Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei ${}c$ und der Abstand der Querrillen sei ${}d$. Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei ${}\varphi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen ${}m>n\geq 1$ mit ${}\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit ${}\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen ${}\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen

${}0\succeq x\,$

für jede rationale Zahl ${}x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die ${}0$ als heilig verehren.

Zeige, dass ${}\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in \mathbb {Q}$ gilt entweder ${}a\succ b$ oder ${}a=b$ oder ${}b\succ a$.
2. Aus ${}a\succeq b$ und ${}b\succeq c$ folgt ${}a\succeq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$).
3. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}a+b\succeq 0$.
4. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}ab\succeq 0$.

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt ${}(\mathbb {Q} ,\succeq )$ nicht?

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$

1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von ${}P$.
2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von ${}P$.
3. Bestimme eine Zerlegung von ${}P$ in Linearfaktoren.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe * (3 Punkte)

Untersuche die Folge

${}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$

auf Konvergenz. Verwende, dass ${}{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

${}f(x)={\frac {x^{2}-7x}{x-4}}\,$

im Punkt ${}a=-3$ bis zum Grad ${}\leq 2$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann ${}F$ differenzierbar ist und dass ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

$(0,0,1)$

als Linearkombination der Vektoren

$(2,3,0),(4,-1,2){\text{ und }}(1,2,1)$

aus.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}1&2&1+2{\mathrm {i} }\\0&3{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.