Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/58/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	4	2	2	2	3	4	4	8	4	2	2	3	4	2	1	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}p,q,r,s,t,u$ Aussagenvariablen. Zeige, dass die Aussage

$p\vee {\left(p\rightarrow {\left(r\wedge \neg s\wedge {\left({\left(u\rightarrow p\right)}\vee {\left(q\rightarrow \neg s\right)}\right)}\right)}\right)}$

eine Tautologie ist. Ist eine Wahrheitstabelle hier sinnvoll?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Heidi Gonzales macht Karate und isst gerne Schokolade. Um eine Schokolade schneller in ihre Teilstücke zerlegen zu können, hat sie einen speziellen Karateschlag entwickelt, mit dem sie beliebig viele Schokoladenstücke gleichzeitig längs einer Rille zerteilen kann, die Stücke müssen dabei nur derart übereinander liegen, dass die Rillen übereinander liegen. Heide hat nun eine Schokolade mit ${}4\times 6$ Teilstücken. Mit wie vielen Karateschlägen kann sie minimal die Schokolade vollständig zerlegen?

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$

durch Induktion nach ${}n$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Quadrat des Polynoms

$1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y>0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn

${}x/y\geq 1\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke

${\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ sei ein normiertes Polynom ${}P_{n}$ vom Grad ${}n$ und ein normiertes Polynom ${}Q_{n}$ vom Grad ${}n+1$ gegeben. Ist die Folge

${}x_{n}={\frac {P_{n}(n)}{Q_{n}(n)}}\,$

(es sei zusätzlich stets ${}Q_{n}(n)\neq 0$) eine Nullfolge?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

${}x^{2}+{\frac {1}{x}}=3\,$

eine reelle Lösung im Intervall ${}[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei durch

${\left\{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$

eine Gerade ${}G$ gegeben. In der ${}x-y$-Ebene ${}E$ sei ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,0)$ und dem Radius ${}8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden ${}G$ mit der Ebene ${}E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ${}K$?

Aufgabe * (8 (1+1+1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,$

die Standardparabel und ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,1)$ und dem Radius ${}1$.

1. Skizziere ${}P$ und ${}K$.
2. Erstelle eine Gleichung für ${}K$.
3. Bestimme die Schnittpunkte

   $P\cap K.$

4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von ${}[-1,1]$ nach ${}\mathbb {R}$.
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

differenzierbare Funktionen und

${}f(x):={\frac {g(x)}{h(x)^{n}}}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass man die Ableitung von ${}f$ als einen Bruch mit ${}h(x)^{n+1}$ im Nenner schreiben kann.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion zur Funktion (${}x\neq 7$)

${}f(x)={\frac {x^{2}+3x+4}{x-7}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&1\\-2x&-3y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,-w&=&-5\\3x&+y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2w&=&3\\-x&\,\,\,\,-y&+z&-3w&=&-2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die ${}2\times 2$- Matrizen über einem Körper ${}K$ der Form

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}\,$

mit

${}M^{2}=0\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}2+6{\mathrm {i} }&8-3{\mathrm {i} }\\5-{\mathrm {i} }&3+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.