Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/9/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 3 7 5 2 3 3 2 5 10 5 2 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  3. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  4. Eine gerade Funktion .
  5. Der -te Standardvektor im .
  6. Der Rang einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Die Taylor-Abschätzung.
  3. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.


Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.

  1. Die -te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch aus diesem Geschlecht besteht.
  2. Die -te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
  3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
  4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei (verschiedene) Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem

erfüllen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Funktion ist durch ihre Werte auf eindeutig festgelegt.
  2. Der Funktionswert ist durch die Funktionswerte , , festgelegt.
  3. Wenn für alle die Abschätzung

    gilt, so gilt auch


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

Also ist


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Aufgabe * (10 (1+2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

  1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von .
  2. Bestimme die Taylor-Entwicklung von im Punkt vom Grad .
  3. Bestimme die Nullstellen von .
  4. Bestimme die lokalen Extrema von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.