Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/14/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 6 2 6 6 4 6 8 3 8 5 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge zu einer Funktion
  2. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld längs eines stetig differenzierbaren Weges .
  4. Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum in einem Punkt .

  5. Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum .

  6. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
  2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
  3. Der Satz über die Integration einer Funktion über ein ebenes stetig berandetes Gebiet.


Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt.
  2. Es sei vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion mit und mit

    für alle gibt.

  3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion mit für alle , die keine Exponentialfunktion ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.


Aufgabe * (6 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (6 (1+5) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung in Abhängigkeit von und .
  2. Bestimme das Punktepaar zwischen und , für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?


Aufgabe * (8 (1+2+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .
  3. Bestimme die Hesse-Matrix zu in einem Punkt .
  4. Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu im Punkt .
  5. Bestimme den Typ der Hesse-Form zu im Punkt mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge und es sei

Zeige

wobei den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um mit Radius bezeichnet.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

um die -Achse rotieren lässt, kleiner als ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

ein Quader im und sei

ein Monom. Berechne .