Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 18/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Aufgabe 18.1 ändern

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus


Aufgabe Aufgabe 18.2 ändern

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Tangens hyperbolicus die Abschätzungen

erfüllt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Determinanten von ebenen und von räumlichen Drehungen.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.


Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.


Eine Funktion heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in der Potenzreihe des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten für ungerades gleich sind.


Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 18.13 ändern

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

die Drehung des Raumes um die -Achse um Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis

aus?


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Additionstheorem

für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien komplexe Zahlen in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft

gibt.




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