Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 55/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide (eines Tetraeders) mit Seitenlänge ${}1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien drei Punkte ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {Q} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen ${}0$ und ${}\pi$ um die ${}x$-Achse gedreht wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die ${}y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu ${}y=h$ „gedeckelt“ wird, in Abhängigkeit von ${}h\geq 0$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Fasse die Einheitskugel als Rotationskörper auf und berechne damit ihr Volumen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe ${}1$ besitzt, den (offenen) Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,$

um die ${}t$-Achse rotieren lässt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ die Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt in ${}(0,R)$ und dem Radius ${}0<r<R$. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich ${}K$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ der Viertelkreis mit dem Mittelpunkt in ${}(1,0)$, dem Radius ${}1$ und den Eckpunkten ${}(0,0)$ und ${}(1,1)$. Berechne das Volumen des „runden Trichters“, der entsteht, wenn man ${}V$ um die ${}y$-Achse dreht.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(3,4),\,(5,5)$ und ${}(4,6)$. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man ${}D$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen des Kegels, dessen Spitze in ${}(2,3,5)$ liegt und dessen Grundfläche die durch

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}\leq 4\right\}}$

gegebene Ellipse ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ ein Kreissektor des Einheitskreises zum Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß). Begründe mit Überpflasterungseigenschaften und mit Satz 55.9, dass der Flächeninhalt von ${}T$ gleich ${}{\frac {\alpha }{2}}$ ist.