Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 7

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?


Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige

für alle .


Aufgabe

Bestimme für die Folge

und

ab welchem (minimalen) die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn es für jedes ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung gilt.


Aufgabe *

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe

Man untersuche ob die folgenden Teilmengen beschränkt sind oder nicht.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .


Aufgabe

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge nicht beschränkt ist.


Aufgabe *

Es sei eine reelle Nullfolge und eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Aufgabe *

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe *

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe *

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe (5 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode) zur Berechnung von rationalen Approximationen der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl mittels der Heron-Folge.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
    • Der Computer kann natürliche Zahlen miteinander vergleichen
    (und abhängig vom Vergleichsergebnis zu Befehlen springen).
    • Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

mit . Dabei ist die Zahl, von der die Quadratwurzel berechnet werden soll, ist das Startglied und ist die gewünschte Genauigkeit. Das Programm soll die Heron-Folge ausrechnen und ausdrucken (und zwar wird der Zähler und der Nenner hintereinander ausgedruckt) und es soll anhalten, wenn das zuletzt ausgedruckte Folgenglied die Eigenschaft

erfüllt.

Achtung! Alle Operationen sind innerhalb von auszuführen!

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Folge

und

ab welchem (minimalen) die Abschätzung

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine konvergente reelle Folge mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.

Tipp: reduziere zuerst auf .

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Folge

gegen konvergiert.

Tipp: Finde eine geeignete Abschätzung für mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe (5 Punkte)

Seien und Folgen reeller Zahlen und sei die Folge definiert durch und . Zeige, dass genau dann konvergiert, wenn und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.



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