Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert  $x_0=2$. 

Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu  $b=7$  mit dem Startwert  $x_0=3$  durch (es sollen also die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe

Es sei  $c\in {ℝ}_{+}$  eine positive reelle Zahl und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert  $x_0\in {ℝ}_{+}$.  Es sei  $u\in {ℝ}_{+}$,   $d=c\cdot u^2$,   $y_0=u{x}_0$  und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige

$y_n=u{x}_n$

für alle  $n\in \mathbb{N}$. 

Aufgabe

Bestimme für die Folge

$x_n:=\frac{2}{3n+5}$

und

$ϵ=\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},\frac{1}{10000},\dots ,$

ab welchem (minimalen) $n$ die Abschätzung

$x_n\le ϵ$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ konvergiert, wenn es für jedes  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart gibt, dass für alle  $n\ge n_0$  die Abschätzung  $|x_n-x|\le \frac{1}{k}$  gilt.

Aufgabe *

Negiere die Aussage, dass eine Folge $x_n$ in $ℝ$ gegen $x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgabe

Untersuche die durch

$x_n=\frac{1}{n^2}$

gegebene Folge ($n\ge 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Man untersuche ob die folgenden Teilmengen  $M\subseteq ℝ$  beschränkt sind oder nicht.

1. $\mathbb{N}$,
2. $\{\frac{1}{2},\frac{-3}{7},\frac{-4}{9},\frac{5}{9},\frac{6}{13},\frac{-1}{3},\frac{1}{4}\}$,
3. $]-5,2]$,
4. $\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}$,
5. $\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}\cup \{0\}$,
6. ${\mathbb{Q}}_{-}$,
7. $\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2\le 2\}$,
8. $\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2\ge 4\}$,
9. $\{x^2\mid x\in \mathbb{Z}\}$.

Aufgabe

Es sei  $x>1$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge  $x_n:=x^n$  nicht beschränkt ist.

Aufgabe *

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Nullfolge und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $(x_n{y}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe *

Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ zwei konvergente reelle Folgen mit  $x_n\ge y_n$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass dann  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n$  gilt.

Aufgabe *

Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ drei reelle Folgen. Es gelte $x_n\le y_n\le z_n\text{ für alle }n\in \mathbb{N}$ und ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $a$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${(|x_n|)}_{n\in \mathbb{N}}$

konvergiert, und zwar gegen $|x|$.

Aufgabe *

Die Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ sei durch

$x_n=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }n\text{ eine Primzahl ist},\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

definiert.

1. Bestimme $x_{117}$ und $x_{127}$.
2. Konvergiert die Folge in $\mathbb{Q}$?

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

$f_n=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n}{\sqrt{5}}$

gilt ($n\ge 0$).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $7$ zum Startwert $x_0=2$.

Aufgabe (5 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode) zur Berechnung von rationalen Approximationen der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl mittels der Heron-Folge.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
• Der Computer kann natürliche Zahlen miteinander vergleichen (und abhängig vom Vergleichsergebnis zu Befehlen springen).
• Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
• Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

$(a,b,c,d,e,0,0,\dots )$

mit  $b,c,e\ne 0$.  Dabei ist $a/b$ die Zahl, von der die Quadratwurzel berechnet werden soll,  $x_0=c$  ist das Startglied und $d/e$ ist die gewünschte Genauigkeit. Das Programm soll die Heron-Folge $x_0,x_1,x_2,\dots$ ausrechnen und ausdrucken (und zwar wird der Zähler und der Nenner hintereinander ausgedruckt) und es soll anhalten, wenn das zuletzt ausgedruckte Folgenglied $x_n$ die Eigenschaft

$|x_n^2-\frac{a}{b}|\le \frac{d}{e}$

erfüllt.

Achtung! Alle Operationen sind innerhalb von $\mathbb{N}$ auszuführen!

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Folge

$x_n:=\frac{2n+1}{3n-4}$

und

$ϵ=\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},$

ab welchem (minimalen) $n$ die Abschätzung

$|x_n-\frac{2}{3}|\le ϵ$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente reelle Folge mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die durch

$y_n:=\frac{x_0+x_1+\cdots +x_n}{n+1}$

definierte Folge gegen $x$ konvergiert.

Tipp: Reduziere zuerst auf  $x=0$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Folge

${\left(\frac{n}{2^n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

gegen $0$ konvergiert.

Tipp: Finde eine geeignete Abschätzung für $2^n$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert durch  $z_{2n-1}:=x_n$  und  $z_{2n}:=y_n$.  Zeige, dass $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ genau dann konvergiert, wenn $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.