Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Setze in das Polynom die Zahl ein.


Aufgabe *

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Aufgabe *

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.


Aufgabe *

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und der Polynomring über . Sei

Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt.

  1. Entweder ist oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge

wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.


Aufgabe

Berechne in die folgenden Ausdrücke.

  1. Das Produkt
  2. Die Summe
  3. Das Inverse von


Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

wobei jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms sei.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper, der Polynomring und

der Körper der rationalen Funktionen über . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 6.18, dass man zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.


Aufgabe *

Sei eine reelle Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen


Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.



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