Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 6

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^2-3X+9\mathrm{i})\cdot ((-3+7\mathrm{i})X^2+(2+2\mathrm{i})X-1+6\mathrm{i}).$

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. $\mathrm{grad}(P+Q)\le max\{\mathrm{grad}(P),\mathrm{grad}(Q)\}.$

2. $\mathrm{grad}(P\cdot Q)=\mathrm{grad}(P)+\mathrm{grad}(Q).$

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper $K$ gilt: Wenn  $P,Q\in K[X]$  beide ungleich $0$ sind, so ist auch  $PQ\ne 0$. 

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $a\in K$.  Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi :K[X]⟶K,P⟼P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien  $P,Q\in K[X]$ ).

1. $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a).$

2. $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a).$

3. $1(a)=1.$

Aufgabe

Setze in das Polynom $2X^4+X^3-3X^2+X+5$ die Zahl $\sqrt{2}$ ein.

Aufgabe *

Zeige, dass

$z=\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^3+3X+2$

ist.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^3-5X^2-4X+7$

die Variable $X$ durch die komplexe Zahl $2-5\mathrm{i}$ ersetzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^4+7X^2-2X+5$ und $T=2X^2+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass jedes Polynom $P\in K[X]$, $P\ne 0$, eine Produktzerlegung

$P=(X-{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\mu }_k}\cdot Q$

mit  ${\mu }_j\ge 1$  und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ und die zugehörigen Exponenten ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_k$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Die Exponenten ${\mu }_i$ heißen dabei die Nullstellenordnung der Nullstelle ${\lambda }_i$ im Polynom.

Aufgabe *

Es seien $P$ und $Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe

Es sei  $F\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass $F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten  $n=3$  gilt.

Aufgabe

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei  $z\in ℂ$  eine Nullstelle von $P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl $\bar{z}$ eine Nullstelle von $P$ ist.

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2$

mit  $a,b,c\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,f(1)=0,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2+d{X}^3$

mit  $a,b,c,d\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0,f(-1)=1.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $R=K[X]$  der Polynomring über $K$. Sei

$P=\{F\in K[X]\mid \text{Der Leitkoeffizient von }F\text{ ist positiv}\}.$

Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt.

1. Entweder ist  $F\in P$  oder  $-F\in P$  oder  $F=0$. 
2. Aus  $F,G\in P$  folgt  $F+G\in P$. 
3. Aus  $F,G\in P$  folgt  $F\cdot G\in P$. 

Aufgabe

Es sei $K[X]$ der Polynomring über einem Körper $K$. Zeige, dass die Menge

$\{\frac{P}{Q}\mid P,Q\in K[X],Q\ne 0\},$

wobei zwei Brüche $\frac{P}{Q}$ und $\frac{P^{\prime }}{Q^{\prime }}$ genau dann als gleich gelten, wenn  $P{Q}^{\prime }=P^{\prime }Q$  ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

Aufgabe

Berechne in $\mathbb{Q}(X)$ die folgenden Ausdrücke.

1. Das Produkt

   $\frac{2X^3-5X^2+X-1}{X^2-2X+6}\cdot \frac{X^2+3}{5X^3-4X^2-7}.$

2. Die Summe

   $\frac{4X^3-X^2+6X-2}{X^2-4X-3}+\frac{X^2-3}{3X^2+5}.$

3. Das Inverse von

   $\frac{6X^3-9X^2+5X-1}{X^4-4X^3+3X^2-8X-3}.$

Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

$f=g/h:U⟶ℝ,$

wobei $U$ jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms $h$ sei.

1. $1/x$,
2. $1/x^2$,
3. $1/(x^2+1)$,
4. $x/(x^2+1)$,
5. $x^2/(x^2+1)$,
6. $x^3/(x^2+1)$,
7. $(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 6.18, dass man $Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

Aufgabe *

Es sei $x$ eine reelle Zahl,  $x\ne 1$.  Beweise für  $n\in \mathbb{N}$  durch Induktion die Beziehung

$\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}.$

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen $f\circ g$ und $g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)=\frac{2x^2-4x+3}{x-2}\text{ und }g(x)=\frac{x+1}{x^2-4}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^3-\mathrm{i}{X}^2+2X+3+2\mathrm{i})\cdot ((2-\mathrm{i})X^3+(3-5\mathrm{i})X^2+(2+\mathrm{i})X+1+5\mathrm{i}).$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=5X^4-6X^3+\frac{3}{5}{X}^2-\frac{1}{2}X+5$ und $T=\frac{1}{7}{X}^2+\frac{3}{7}X-1$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in $ℂ[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=(5+\mathrm{i})X^4+\mathrm{i}{X}^2+(3-2\mathrm{i})X-1$ und $T=X^2+\mathrm{i}X+3-\mathrm{i}$ durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

$X^u+1=(X+1)(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^2-X+1)$

für $u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad $1$ oder $2$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein reelles Polynom $f$ vom Grad $\le 3$, für welches

$f(0)=-1,f(-1)=-3,f(1)=7,f(2)=21$

gilt.