Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/13

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Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

In der Vorlesung wird der Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus thematisiert, sowie der Sinus und Kosinus. Worin unterscheiden sich der Sinus hyperbolicus und der Sinus (analog zum Kosinus)?


Antwort


Sinus und Sinus Hyperbolicus sind unterschiedliche Funktionen. Man sollte nicht den Fehler machen zu denken, dass es sich nur um Variationen einer Funktion handelt. Erstmal sollte man meinen, dass sie nichts gemeinsam haben, außer dass sie beide durch Potenzreihen definiert werden können (beim Hyperbolicus über den Umweg der Exponentialfunktion).

Die Frage, was sie gemeinsam haben, ist interessanter. Zum Beispiel, dass Sinus genau wie Sinus Hyperbolicus eine ungerade Funktion ist. Noch spannender sind die Additionstheoreme: Satz 13.13  (3) und Aufgabe 13.4.

Für Kosinus und Kosinus Hyperbolicus gilt entsprechendes, allerdings unterscheiden sich die Additionstheoreme in einem Minuszeichen.


Studentenfrage

What are hyperbolic functions such as hyperbolic sine/cosine/tangent used for? It seems that they are no longer mentioned later in Vorlesung 13.


Antwort


My favorite use case for the hyperbolic functions is Beispiel 20.11 in which they are used to compute the integral of . As far as I know this is - apart from exercises - the only other occurence of the hyperbolic functions in this course, but it is an important one.

Looking beyound the scope of this course being able to integrate allows solving of some differential equations as in Beispiel ***** and is an important building block for integrating rational functions with square roots as in this Lemma.


Studentenfrage

In der Vorlesung ist in Definition 13.7 diese Aussage: "(oder die Kreislinie oder die 1-Sphäre)". Heißt das, dass die 1-Sphäre ein anderes Wort für die Kreislinie ist und komplett gleichbedeutend oder dass die 1-Sphäre ein Begriff dafür ist, aber andere Eigenschaften besitzt.


Antwort


Kreis, Kreislinie und 1-Sphäre sind ein und das selbe. 1-Sphäre steht für die eindimensionale Sphäre (Die 2-Sphäre ist demnach die Kugeloberfläche).


Studentenfrage

Ich hatte Definition 13.8 so verstanden, dass sich sin und cos nur durch den Einheitskreis definieren. Dazu gehört das Zitat: "Es gibt keinen analytischen „berechenbaren“ Ausdruck, wie zu einem gegebenen Winkel die Werte von Kosinus und Sinus berechnet werden müssen"

Unter Definition 13.12 stehen dann aber klare Definitionen, die aber identisch sind mit der jeweiligen Definition der Reihe.

Dazu kommt: Wenn man eine klare Definition für die Reihen von sin und cos hat, kann man daraus dann nicht eine Definition für sin und cos ableiten?


Antwort


Du hast im Prinzip alles richtig verstanden, du hast nur die Bedeutung deines Zitats falsch zugeordnet. Damit ist nämlich gemeint, dass ein Nachteil an der Definition des Sinus und Kosinus über den Einheitskreis ist, dass es keinen analytisch berechenbaren Ausdruck liefert. Genau wegen dieser Schwächen des Zugangs über den Einheitskreis führen wir den analytischen Zugang mithilfe der Reihen ein. Wie du richtig erkannt hast, liefert das eine analytische Definition von Sinus und Kosinus.


Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 13

Alle Gruppen, die abgegeben haben, haben Aufgabe 27 bearbeitet, wir haben aber nur einer Gruppe Punkte dafür geben können, weil die Begründungen bei allen anderen Gruppen nicht ausreichten. Ansonsten sind die restlichen fehlenden Punkte aufgrund von Umformungsfehlern zustande gekommen.

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