Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 6

Aufgabe

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

$((4+{\mathrm {i} })X^{2}-3X+9{\mathrm {i} })\cdot ((-3+7{\mathrm {i} })X^{2}+(2+2{\mathrm {i} })X-1+6{\mathrm {i} }).$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper ${}K$ gilt: Wenn ${}P,Q\in K[X]$ beide ungleich ${}0$ sind, so ist auch ${}PQ\neq 0$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$.
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$.
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe

Setze in das Polynom ${}2X^{4}+X^{3}-3X^{2}+X+5$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}$ ein.

Aufgabe *

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^{3}-5X^{2}-4X+7$

die Variable ${}X$ durch die komplexe Zahl ${}2-5{\mathrm {i} }$ ersetzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.

Aufgabe *

Es sei

${}P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$

ein reelles Polynom mit ${}a_{n}>0$. Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten ${}a_{0},\ldots ,a_{n}$ eine Schranke ${}b$ derart an, dass

${}P(x)>0\,$

für alle ${}x\geq b$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom ${}P$ durch ${}X^{m}$ teilt?

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{4}+7X^{2}-2X+5$ und ${}T=2X^{2}+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass jedes Polynom ${}P\in K[X],\,P\neq 0,$ eine Produktzerlegung

$P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Die Exponenten ${}\mu _{i}$ heißen dabei die Nullstellenordnung der Nullstelle ${}\lambda _{i}$ im Polynom.

Aufgabe *

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten ${}n=3$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine Nullstelle von ${}P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}$ eine Nullstelle von ${}P$ ist.

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}R=K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Sei

${}P={\left\{F\in K[X]\mid {\text{Der Leitkoeffizient von }}F{\text{ ist positiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt.

1. Entweder ist ${}F\in P$ oder ${}-F\in P$ oder ${}F=0$.
2. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F+G\in P$.
3. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F\cdot G\in P$.

Aufgabe

Es sei ${}K[X]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Menge

${\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}},$

wobei zwei Brüche ${}{\frac {P}{Q}}$ und ${}{\frac {P'}{Q'}}$ genau dann als gleich gelten, wenn ${}PQ'=P'Q$ ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {Q} (X)$ die folgenden Ausdrücke.

1. Das Produkt

   ${\frac {2X^{3}-5X^{2}+X-1}{X^{2}-2X+6}}\cdot {\frac {X^{2}+3}{5X^{3}-4X^{2}-7}}.$

2. Die Summe

   ${\frac {4X^{3}-X^{2}+6X-2}{X^{2}-4X-3}}+{\frac {X^{2}-3}{3X^{2}+5}}.$

3. Das Inverse von

   ${\frac {6X^{3}-9X^{2}+5X-1}{X^{4}-4X^{3}+3X^{2}-8X-3}}.$

Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

$f=g/h\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}U$ jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms ${}h$ sei.

1. ${}1/x$,
2. ${}1/x^{2}$,
3. ${}1/(x^{2}+1)$,
4. ${}x/(x^{2}+1)$,
5. ${}x^{2}/(x^{2}+1)$,
6. ${}x^{3}/(x^{2}+1)$,
7. ${}(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 6.19, dass man ${}Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

Aufgabe *

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)={\frac {2x^{2}-4x+3}{x-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,g(x)={\frac {x+1}{x^{2}-4}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

${\left((4+{\mathrm {i} })X^{3}-{\mathrm {i} }X^{2}+2X+3+2{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left((2-{\mathrm {i} })X^{3}+(3-5{\mathrm {i} })X^{2}+(2+{\mathrm {i} })X+1+5{\mathrm {i} }\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=5X^{4}-6X^{3}+{\frac {3}{5}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+5$ und ${}T={\frac {1}{7}}X^{2}+{\frac {3}{7}}X-1$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=(5+{\mathrm {i} })X^{4}+{\mathrm {i} }X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-1$ und ${}T=X^{2}+{\mathrm {i} }X+3-{\mathrm {i} }$ durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,$

für ${}u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${}P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad ${}1$ oder ${}2$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 3$, für welches

$f(0)=-1,\,f(-1)=-3,\,f(1)=7,\,f(2)=21$

gilt.