Kurs:Mathematik für Anwender I/4/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine injektive Abbildung

   $f:L⟶M.$

2. Eine surjektive Abbildung

   $f:L⟶M.$

3. Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
4. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\phi :V⟶W$

   zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.

5. Der Limes (oder Grenzwert) einer reellen Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$.
6. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $\phi :ℝ⟶ℝ$

   in einem Punkt  $a\in ℝ$. 

7. Die eulersche Zahl $e$.
8. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Injektivitätskriterium für lineare Abbildungen.
2. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
4. Die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zwei Personen, $A$ und $B$, liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige durch Induktion über $n$, dass es zu natürlichen Zahlen $a,n$ mit  $a>0$  natürliche Zahlen $q,r$ mit  $r<a$  und mit

$n=aq+r$

gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

$P=X^3-2\mathrm{i}{X}^2+4X-1\text{ und }Q=\mathrm{i}X-3+2\mathrm{i}$

gegeben. Berechne $P(Q)$ (es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden).

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die durch die Matrix  $M=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$  (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu $\phi$ bezüglich der Basis $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

sei eine $K$-lineare Abbildung.

a) Zeige, dass der Kern von $\phi$ ein Untervektorraum von $V$ ist.

b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}2+5\mathrm{i}& 1-2\mathrm{i}\\ 3-4\mathrm{i}& 6-2\mathrm{i}\end{array}\right)$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

$M\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54+72\mathrm{i}\\ 0\end{array}\right).$

Aufgabe * (4 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

$x_n:=\frac{3{\sin }^{4}n-7n^3+11n}{5n^3-4n^2-\cos n}$

in $ℝ$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=\frac{\ln \left(2x^2\right)}{7^x}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t)=t^2{e}^{-t}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion

$f(x)=e^{x^2}-x$

im Entwicklungspunkt  $a=1$. 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von ${\sin }^{3}x$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

$\frac{x^3+x}{x^2-1}$

für $x>1$.

Aufgabe * (6 Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

$y^{\prime }=\frac{t^3}{y^2},y>0,t>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$y^{\prime }=\frac{t^3}{y^2}\text{ mit }y(1)=1.$

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