Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Aufgabenblatt 4

Aufgabe

Drücke die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto 2z^{3}-z^{2}+3z+2-{\mathrm {i} },$

in reellen Koordinaten aus. Berechne das reelle totale Differential dieser Abbildung.

Aufgabe

1. Drücke die Abbildungen

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k}$

   für ${}k=0,\ldots ,5$ in reellen Koordinaten aus.

2. Drücke die Abbildungen

   ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k}$

   für ${}k=-1,-2,-3$ in reellen Koordinaten aus.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$

welche in reellen Koordinaten durch ${}(x,y)\mapsto (x^{3}-xy^{2},5x^{2}y^{2}-y)=(g,h)$ gegeben ist. Berechne das reelle totale Differential und überprüfe, ob die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen gelten.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume. Betrachte die Evaluationsabbildung

$\operatorname {Ev} \colon \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)\times V\longrightarrow W,\,(L,v)\longmapsto L(v).$

Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)$ ebenfalls ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ist.

1. Ist die Evaluationsabbildung linear?
2. Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${}(L,v)$ in Richtung ${}(M,u)$ mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe ***** auf das Diagramm

$G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

$\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

$\operatorname {Re} \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$

und

$\operatorname {Im} \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)},$

reell-differenzierbar sind, aber nicht komplex-differenzierbar.

Aufgabe

Ist die komplexe Konjugation ${}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}z\longmapsto {\overline {z}}$ komplex-differenzierbar? Ist sie reell-differenzierbar?

Aufgabe

Betrachte die komplex-lineare Abbildung ${}L\colon {\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$, die durch die ${}2\times 2$-Matrix

${\begin{pmatrix}5&3+4{\mathrm {i} }\\2-2{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegeben ist. Bestimme die zugehörige Matrix, welche die gleiche lineare Abbildung ${}\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ beschreibt.

Aufgabe

Studiere den Beweis von Fakt *****.