Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 13

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Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

mit einem Polynom (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ein freier -Modul vom Rang ist.


Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.

Aufgabe

Berechne .


Aufgabe

Berechne das Tensorprodukt


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die -Modulisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien multiplikative Systeme. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es seien und kommutative Monoide und ein kommutativer Ring. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und ein multiplikatives System. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe

Beschreibe für den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe von Korollar 13.2.



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