Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen

Einführung

Wenn wir die ${\mathcal {P}}$ -Regularität eines Elementes $z\in A$ für eine lokalbeschränkte topologische Algebra $(A,\|\cdot \|_{A})$ sprechen, suchen wir nach einer lokalbeschränkten Algebraerweiterungen $(B,\|\cdot \|_{B})$ von $(A,\|\cdot \|_{A})$ in der $z\in A$ invertierbar ist. Dabei reicht es nach dem Korrespondenzsatz p-Halbnormen zeigen, dass eine normierte Algebraerweiterung, dass die Algebraerweiterung $(B,\|\cdot \|_{B})$

durch eine $p$ -Norm topologisiert werden kann oder (alternativ)
die Topologe durch eine Quasinorm $\|\cdot \|_{B})$ erzeugt werden kann

Analog zur Vollständigkeit bei Banachalgebren verändert das die Eigenschaft der Vollständigkeit das Vorgehen nicht, denn ist ein aus $z\in A$ in einer lokalbeschränkten Algebra $(B_{0},{\mathcal {T}}_{B_{0}})$ invertierbar, die nicht vollständig ist, dann vervollständig man ggf. die Algebraerweiterung $B_{0}$ zu $B$ .

Zielsetzung

Zielsetzung einer lokalbeschränkten Algebraerweiterung $(B,\|\cdot \|_{B})$ zu einer gegebenen topologischen Algebra $(A,\|\cdot \|_{A})$ mit $z\in A$ ist es, die gegebene lokalbeschränkte Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element $z^{-1}:=b\in B$ in der lokalbeschränkten Algebraerweiterung $B$ besitzt. Als topologieerzeugende $p$ -Gaugefunktionale werden hier $p$ -Normen $\|\cdot \|_{A}$ und $\|\cdot \|_{B}$ verwendet.

Charakterisierung der P-Regulärität

Der folgende Beweis zeigt die folgende Äquivalenz für kommuntative lokalbeschränkte Algebren $(A,\|\cdot \|_{A})$ mit einer $p$ -Norm $\|\cdot \|_{A}$ :

$z\in A$ permanent singulär $\Longleftrightarrow$ $z\in {\mathcal {TNT}}(A)$ (topologischer Nullteiler)
$z\in A$ ${\mathcal {P}}$ -regulär $\Longleftrightarrow$ es gibt ein $D>0$ mit $\|x\|\leq D\cdot \|z\cdot x\|$ für alle $x\in A$

Veranschaulichung

Algebraerweiterung $B$ von $A$ ist hier wieder eine Banachalgebra, die ein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ zu einem gegebenen $z\in A$ enthält.

Lokalbeschränkte Algebraerweiterung:

Sei ${\textstyle {\mathcal {P}}_{e}}$ die Klasse der lokalbeschränkten unitalen Algebren und ${\textstyle A\in {\mathcal {P}}_{e}}$ . Die Algebraerweiterung ${\textstyle B\in {\mathcal {P}}_{e}}$ bzw. ${\textstyle {\mathcal {P}}}$ -Erweiterung von ${\textstyle A}$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}$ mit:

${\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}$ , wobei ${\textstyle e_{_{A}}}$ ist das Einselement von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle e_{_{B}}\in A'}$ das Einselement von ${\textstyle B}$ ist.
${\textstyle A}$ ist homöomorph zu ${\textstyle A'}$ ; d.h. ${\textstyle \tau }$ und ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ sind stetig.

Veranschaulichung - Algebraisomorphismus

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

Im allgemeinen identifiziert man ${\textstyle A}$ mit ${\textstyle A'}$ und schreibt ${\textstyle A\subset B}$ . In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
Sei ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle A'}$ und ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\textstyle A}$ , dann kann man die Homöomorphie zwischen ${\textstyle A}$ und ${\textstyle A'}$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

{\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}

Stetigkeit über p-Norm

Betrachtet man die p-Normen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{A'}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{A}}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

{\begin{array}{rcl}\exists _{\displaystyle C_{1}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{A}\leq C_{1}\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{A'}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A}\circ \tau \leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A'}\\\exists _{\displaystyle C_{2}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{A'}\leq C_{2}\cdot \left\|x\right\|_{A}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A}.\end{array}}

Kommuntative Algebren und deren Algebraerweiterung

Wir betrachten zunächst kommuntative Algebren $(A,\|\cdot \|_{A})$ . Die Konstruktion der Algebraerweiterung induziert die Kommuntativität auch auf die Polynomalgebren und letztlich auf die gesuchte Algebraerweiterung $(B,\|\cdot \|_{B})$ . Ohne die Kommunitativität liefern die Charakterisierungssätze zunächst nur linksinverse bzw. rechtsinverse Elemente.

Beweisidee

Der Beweis für einen $p$ -normierbaren Raum kann analog zur Banachalgebraerweiterungen der ${\mathcal {B}}$ -Regularität (nach Arens 1958^[1]) geführt werden.

Veranschaulichung Beweisidee

Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung, in der ein $z\in A$ invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome $A[t]$ betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung $B$ über die Polynomalgebra konstruiert wird.

Beweisidee 1 - Konstruktion der Algebraerweiterung

Ausgehend von $(A,\|\cdot \|_{A})$ wird die Polynomalgebra $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{A[t]})$ mit einer p-Norm $\|\!|\cdot |\!\|_{A[t]}$ topologisiert und die p-Norm $\|\!|\cdot |\!\|_{A[t]}$ macht $A[t]$ zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation nachzuweisen ist.
Übergang zu dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ , wobei das Polynom $o(t):=z\cdot t-e_{A}$ das Hauptideal $I:=o\cdot A[t]$ definiert und $o\in A[t]$ ein Repräsentant des Nullvektors $0_{B}:=I=o+I$ in $B$ ist.

Beweisidee 2 - Konstruktion der Algebraerweiterung

Die Konstruktion des Ideals $I$ liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit $b(t):=e_{A}\cdot t$ ist $b_{I}:=b+I\in B=A[t]/I$ das inverse Element zu $z\in A$ mit $z_{I}:=\tau (z)=z+I\in B$ mit $z_{I}\cdot b_{I}-e_{B}=0_{B}$ bzw. $z_{I}\cdot b_{I}=e_{B}$ . Die Kommutativität liefert dann, dass auch $b_{I}\cdot z_{I}=e_{B}$ gilt.

Normierte Polynomalgebra

Wir betrachten nun zu einer gegeben Banachalgebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )}$ die Menge der Polynome mit Koeffizienten in $A$ .

p(t)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \{0,1,...,n\}

und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra $A$

p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \mathbb {N} _{o}

Grad von Polynomen

Zunächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit $n\in \mathbb {N} _{o}$ notieren und mit $p_{n}\not =0_{A}$ würde $n$ den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen $p,q\in A[t]$ ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen $p,q\in A[t]$ die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

Schreibweise für die Polynomalgebra

Daher werden die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen $c_{oo}(A)$ definiert, die ab einer Indexschranke $n\in \mathbb {N} _{o}$ nur noch aus dem Nullvektor $0_{A}$ in $A$ besteht.

p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)

Topologischer Nullteiler

Wenn $z\in A$ ein topologischer Nullteiler in $A$ ist (z\in ${\mathcal {TNT}}(A)$ ), gilt:

\displaystyle \inf _{\|x\|_{A}=1}\|z\cdot x\|_{A}=0

Aus der Negation der Eigenschaft erhält man eine Konstante $D>0$ mit:

\displaystyle \|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}

Topologisierung der Polynomalgebra

Die $p\in A[t]$ wird nun mit einer Folge $(D^{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit einer positiven Konstanten $D\in \mathbb {R} ^{+}$ topologisiert, wobei die Konstante $D$ sich aus der Eigenschaft ergibt, dass $z\in A$ topologischer Nullteiler ist.

\|\!|p|\!\|:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)

$c_{oo}(A)$ sind abbrechende Folgen in $A$ , bei denen ab einer Indexschranke nur noch der Nullvektor $0_{A}$ als Folgenglied auftritt.

Stetigkeit der Multiplikation

Für eine gegebene feste positive Konstante $D>0$ kann man die Folge $(D^{k})_{k\in \mathbb {N} }$ wie folgt definieren:

\|\!|p|\!\|_{D}\displaystyle :=\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)

p-Homogenität

Die Eigenschaft der $p$ -Homogenität überträgt sich von $\|\cdot \|_{A}$ auf $\|\!|\cdot |\!\|_{D}$ , denn:

{\begin{array}{rcl}\|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{D}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|\lambda \cdot p_{k}\|_{A}\\&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot |\lambda |^{p}\cdot \|p_{k}\|_{A}\\&=&\displaystyle |\lambda |^{p}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}\,=\,|\lambda |^{p}\cdot \|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{D}\\\end{array}}

Dreiecksungleichung p-Norm - Stetigkeit der Addition

Die Eigenschaft der $p$ -Homogenität überträgt sich ebenfalls von $\|\cdot \|_{A}$ auf $\|\!|\cdot |\!\|_{D}$ , denn mit $q,r\in A[t]$ :

{\begin{array}{rcl}\|\!|q+r|\!\|_{D}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|q_{k}+r_{k}\|_{A}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \left(\|q_{k}\|_{A}+\|r_{k}\|_{A}\right)\\&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(D^{k}\cdot \|q_{k}\|_{A}+D^{k}\cdot \|r_{k}\|_{A}\right)\,=\,\|\!|q|\!\|_{D}+\|\!|r|\!\|_{D}\\\end{array}}

Cauchy-Produkt 1 - Stetigkeit der Multiplikation

Betrachtet man zwei Polynome $q,r\in A[t]$ in dem $p$ -normierten Raum $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})$ .

q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}r(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt $p\cdot q$ :

\|\!|q\cdot r|\!\|_{D}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}q_{k}\cdot r_{n-k}\right\|_{A}

Cauchy-Produkt 2 - Stetigkeit der Multiplikation

Die gegebene $p$ -Norm sei ohne Einschränkung submultiplikativ mit $\|x\cdot y\|_{A}\leq \|x\|_{A}\cdot \|y\|_{A}$

{\begin{array}{rcl}\|\!|q\cdot r|\!\|_{D}&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}q_{k}\cdot r_{n-k}\right\|_{A}\leq \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}\left\|q_{k}\cdot r_{n-k}\right\|_{A}\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}D^{n}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{A}\cdot \left\|r_{n-k}\right\|_{A}\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}D^{k}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{A}\cdot D^{n-k}\cdot \left\|r_{n-k}\right\|_{A}\\&=&\left(\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{A}\right)\cdot \left(\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \left\|r_{k}\right\|_{A}\right)=\|\!|q|\!\|_{D}\cdot \|\!|r|\!\|_{D}\end{array}}

Topologisierung der Algebraerweiterung

Die $p$ -Norm auf der Polynomalgebra $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})$ induziert auch die $p$ -Norm auf dem Quotientenraum $(B,\|\cdot \|_{B})$ mit $B:=A[t]/I$ . Sowohl $(A,\|\cdot \|_{A})$ , $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{C})$ und $(B,\|\cdot \|_{B})$ sind dann lokalbeschränkte topologische Algebren, wobei alle $p$ -Normen bzgl. des gleichen $p>0$ dann $p$ -homogen sind.

Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra

Für das gegebene $z\in A$ in der kommutativen lokalbeschränkten topologische Algebren $(A,\|\cdot \|_{A})$ definiert man ein Polynom $o\in A[t]$ mit $o(t):=z\cdot t-e_{A}$ , wobei $e_{A}$ das Einselement der Multiplikation in $A$ ist. Als Ideal definiert man $I:={\overline {o\cdot A[t]}}$ als abgeschlossenes Hauptideal in $A[t]$ . Als Untervektorraum $I$ wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.

Topologisierung des Quotientenraumes Algebraerweiterung

Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotienten-p-Norm versehen, die wie folgt definiert ist:

\|q_{_{I}}\|_{B}:=\|q+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{D}

Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit $q_{I}\in B$ , wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}

Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.

Stetigkeit Algebrahomomorphismus

Sei $x\in A$ beliebig gewählt, dann gilt mit der Norm $\|\cdot \|_{B}$ auf dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ die folgende Abschätzung

{\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{B}&=&\|x_{I}\|_{B}=\|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}\end{array}}

Damit ist $\tau$ stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Struktur der Polynome aus dem Ideal

Betrachten nun das Bild $\tau (A)\subset B$ von $\tau$ in $B$ . Sei nun $A'=\tau (A)=\{x_{I}\,:\,x_{I}=x+I=\tau (x)\}$ gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges $q\in A[t]$ mit $r=o\cdot q\in I$ mit $o(t)=z\cdot t-e_{A}$ . Dabei gilt:

{\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}=o(t)\cdot q(t)\\&=&-q_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(z\cdot q_{k-1}-q_{k})\cdot t^{k}\end{array}}

Homöomorphie der Einbettung

Nun ist die Algebraerweiterung $B$ topologisiert und es ist noch nachzuweisen, dass die bijektive Abbildung $\tau$ und $\tau ^{-1}$ als lineare Abbildungen stetig sind (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen)

Stetigkeit der Einbettung von A in B

Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung $\tau ^{-1}$ gilt bzgl. dem Nullpolynom $0_{A[t]}\in I$ :

\|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von $A$ in $A'\subset B:=A[t]/I$ eine Isometrie mit $\|x+I\|_{B}=\|x\|_{A}$ .

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 1

Unter Verwendung der Abschätzung $\|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}$ erhält man

{\begin{array}{rcl}\|\!|x+r|\!\|_{D}&=&D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{A}\\\\&\geq &D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{A}-\|q_{k}\|_{A}\right)\\\\&\geq &D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{A}-D^{k}\cdot \|q_{k}\|_{A}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=0}^{\infty }D^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{A}-D^{k}\cdot \|q_{k}\|\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{A}+\|q_{0}\|_{A}\geq \|x\|_{A}\end{array}}

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 2

Durch Infimumbildung über alle Polynome $r\in I$ bleibt die obige Ungleichung erhalten. $\|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\geq \|x\|_{A}$

Invertierbarkeit in der Algebraerweiterung

Wir betrachteten eine kommutative lokalbeschränkte Algebra $A\in {\mathcal {P}}_{e}^{k}(\mathbb {K} )$ über dem Körper $\mathbb {K}$ .

Neutrales Element der Multiplkation und Addition

Die Abbildung $\tau :A\to B$ mit $\tau (x)=x_{_{I}}=x+I$ bettet ein $x\in A$ hömöomorph in die Algebraerweiterung $B$ von $A$ ein.
Das Element $e_{_{B}}:=e_{_{A}}+I=\tau (e_{_{A}})$ ist das neutrale Element der Multiplikation in $B$ mit der Multiplikation $p_{I}\cdot q_{I}:=(p\cdot q)+I$ .
Da das Polynom $o(t):=z\cdot t-e_{A}A$ das abgeschlossene Hauptideal $I:={\overline {o\cdot A[t]}}$ erzeugt, ist $o\in A[t]$ ein Repräsentant des Nullvektor $0_{B}=o+I=0_{A}+I$ in $B:=A[t]/I$

Invertierbarkeit von z

Mit $b(t):=e_{A}\cdot t$ erhält man eine Element $b_{_{I}}=b+I\in B$ im Quotientenraum $B:=A[t]/I$ und $b(t):=e_{A}\cdot t$ ist ein Repräsentant des inversen Elementes von $z$ bzw. $\tau (z)=z_{_{I}}$ , denn es gilt mit $o(t)=z\cdot t-e_{A}$ auch $0_{B}=o_{_{I}}=z_{_{I}}\cdot b_{_{I}}-e_{B}$ . Mit Umformung in $B$ gilt dann mit der Kommuntativität von $A$ und $B$ auch: