Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 6
- Aufgaben zur Mächtigkeit
Aufgabe
Es seien und zwei Mengen und eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen. Zeige, dass für jede Teilmenge eine Bijektion vorliegt, und dass ebenso für jede Teilmenge eine Bijektion vorliegt.
Aufgabe
Es sei eine Menge und die Potenzmenge davon. Zeige, dass durch die Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.
Aufgabe
Es sei eine Menge und die Potenzmenge davon. Zeige, dass durch
Aufgabe
Definiere eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und den rationalen Zahlen .
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel für eine surjektive Abbildung
- Aufgaben zu endlichen Mengen
Die folgenden Aufgaben über endliche Mengen sind intuitiv klar. Es geht aber darum, sie unter Bezug auf die Definitionen mit Hilfe von bijektiven Abbildungen zu beweisen.
Aufgabe
Zeige, dass die Menge endlich mit Elementen ist. Zeige ferner, dass für jedes die Menge
ebenfalls eine endliche Menge mit Elementen ist.
Aufgabe
Es sei , und . Zeige, dass die Menge
die Anzahl besitzt.
Aufgabe
Es seien und natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über , dass aus einer Bijektion
folgt, dass ist.
Aufgabe
Es sei eine endliche Menge. Zeige, dass die Anzahl von wohldefiniert ist.
Aufgabe
Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei eine Teilmenge. Zeige, dass ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl die Abschätzung
gilt. Zeige ferner, dass genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn
ist.
Aufgabe
Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei
eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge . Zeige, dass dann auch endlich ist, und dass für ihre Anzahl die Abschätzung
gilt.
Aufgabe
Es sei eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass genau dann endlich ist, wenn ein Maximum besitzt.
Aufgabe
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man im Lotto „Sechs aus Neunundvierzig“?
Aufgabe
Es seien und zwei disjunkte endliche Mengen. Zeige, dass die Anzahl der (disjunkten) Vereinigung gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist.
Aufgabe
Es seien und endliche Mengen. Zeige, dass die Produktmenge ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung
gilt.
In den drei folgenden Aufgaben bezeichen wir mit die Menge der bijektiven Abbildungen von in sich selbst.[1]
Aufgabe
Zeige, dass durch die Zuordnung
mit
eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.
Aufgabe
Zeige, dass
gilt.
Aufgabe *
Es sei eine -elementige Menge und sei
Zeige, dass
ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine Menge und es seien , , endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge sei
Finde eine Beziehung zwischen den Anzahlen der verschiedenen Schnittmengen , . Beweise diese Formel.
Aufgabe
Es sei eine total geordnete Menge. Zeige durch Induktion, dass jede nichtleere endliche Teilmenge ein eindeutiges Maximum besitzt.
- ↑ In diesen drei Aufgaben beweisen wir, dass man eine -elementige Menge auf verschiedene Weisen anordnen kann. Der Aufwand mag angesichts der simplen Idee, dass es für das erste Element Möglichkeiten gibt, für das zweite Möglichkeiten usw. unangemessen hoch erscheinen. Dies beruht eben darauf, dass wir einen präzisen Beweis geben, der auf einer präzisen Definition der Anzahl aufbaut. Es sei aber hier schon ausdrücklich erwähnt, dass allgemein in der höheren Mathematik dieses Missverhältnis zwischen einer (detaillierten) Beweisidee und deren Übersetzung in einen korrekten Beweis nicht herrscht.