Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 6

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Aufgaben zur Mächtigkeit

Aufgabe

Es seien und zwei Mengen und eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen. Zeige, dass für jede Teilmenge eine Bijektion vorliegt, und dass ebenso für jede Teilmenge eine Bijektion vorliegt.


Aufgabe

Es sei eine Menge und die Potenzmenge davon. Zeige, dass durch die Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.


Aufgabe

Es sei eine Menge und die Potenzmenge davon. Zeige, dass durch

eine reflexive und transitive Relation auf definiert wird, die in aller Regel weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist.


Aufgabe

Definiere eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und den rationalen Zahlen .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine surjektive Abbildung

derart, dass jeder Wert unendlich oft angenommen wird.




Aufgaben zu endlichen Mengen

Die folgenden Aufgaben über endliche Mengen sind intuitiv klar. Es geht aber darum, sie unter Bezug auf die Definitionen mit Hilfe von bijektiven Abbildungen zu beweisen.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge endlich mit Elementen ist. Zeige ferner, dass für jedes die Menge

ebenfalls eine endliche Menge mit Elementen ist.


Aufgabe

Es sei , und . Zeige, dass die Menge

die Anzahl besitzt.


Aufgabe

Es seien und natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über , dass aus einer Bijektion

folgt, dass ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge. Zeige, dass die Anzahl von wohldefiniert ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei eine Teilmenge. Zeige, dass ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl die Abschätzung

gilt. Zeige ferner, dass genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn

ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei

eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge . Zeige, dass dann auch endlich ist, und dass für ihre Anzahl die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Sei eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass genau dann endlich ist, wenn ein Maximum besitzt.


Aufgabe

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man im Lotto „Sechs aus Neunundvierzig“?


Aufgabe

Es seien und zwei disjunkte endliche Mengen. Zeige, dass die Anzahl der (disjunkten) Vereinigung gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist.


Aufgabe

Es seien und endliche Mengen. Zeige, dass die Produktmenge ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung

gilt.


In den drei folgenden Aufgaben bezeichen wir mit die Menge der bijektiven Abbildungen von in sich selbst.[1]

Aufgabe

Zeige, dass durch die Zuordnung

mit

eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass

gilt.


Aufgabe *

Es sei eine -elementige Menge und sei

Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Es seien und zwei endliche Teilmengen einer Menge . Zeige, dass die Formel

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Menge und es seien , , endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge sei

Finde eine Beziehung zwischen den Anzahlen der verschiedenen Schnittmengen , . Beweise diese Formel.


Aufgabe

Es sei eine total geordnete Menge. Zeige durch Induktion, dass jede nichtleere endliche Teilmenge ein eindeutiges Maximum besitzt.


  1. In diesen drei Aufgaben beweisen wir, dass man eine -elementige Menge auf verschiedene Weisen anordnen kann. Der Aufwand mag angesichts der simplen Idee, dass es für das erste Element Möglichkeiten gibt, für das zweite Möglichkeiten usw. unangemessen hoch erscheinen. Dies beruht eben darauf, dass wir einen präzisen Beweis geben, der auf einer präzisen Definition der Anzahl aufbaut. Es sei aber hier schon ausdrücklich erwähnt, dass allgemein in der höheren Mathematik dieses Missverhältnis zwischen einer (detaillierten) Beweisidee und deren Übersetzung in einen korrekten Beweis nicht herrscht.