Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe

Welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}0$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$ und welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}1$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$?

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm (also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird) für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Gerade und ungerade Zahlen kann man unterschiedlich definieren. Was wäre spontan Ihre Definition?

Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl ${}n$ genau dann ungerade ist, wenn man sie in der Form ${}n=2k+1$ mit einer natürlichen Zahl ${}k$ schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl ${}n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich ${}0,2,4,6$ oder ${}8$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl ${}n$ genau dann ungerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich ${}1,3,5,7$ oder ${}9$ ist.

Aufgabe

1. Formuliere Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden natürlichen Zahlen.
2. Beweise die Rechenregeln mit den Endzifferbeschreibungen (siehe Aufgabe 2.4 und Aufgabe 2.5).
3. Beweise die Rechenregeln mit den Gleichungsbeschreibungen (Definition und Aufgabe 2.3).

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige mittels einer Fallunterscheidung, dass ${}n^{2}-n$ stets gerade ist.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.24 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${}a$ eine natürliche Zahl und es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ im Dezimalsystem. Zeige, dass ${}a$ von ${}3$ genau dann geteilt wird, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}3$ geteilt wird.

Eine Verallgemeinerung dieses Quersummentests wird in der nächsten Aufgabe besprochen.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}n\geq 2$. Es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}n^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ zur Basis ${}n$ (also mit ${}0\leq a_{i}<n$). Es sei ${}k$ ein Teiler von ${}n-1$. Dann wird ${}a$ von ${}k$ genau dann geteilt, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}k$ geteilt wird.

Aufgabe

Betrachte im ${}15$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$EA09B4CA.$

Ist diese Zahl durch ${}7$ teilbar?

Aufgabe *

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${}3$ ist, die kein Vielfaches der ${}3$ ist und die keine Primzahl ist.

Aufgabe

Berechne den Ausdruck

$n^{2}+n+41$

für ${}n=0,1,2,\ldots$. Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

$11,\,111,\,1111,\,11111,\,111111.$

(Vergleiche hierzu auch Aufgabe 3.22.)

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}999999$.

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl ${}N$ der Form ${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1$, die keine Primzahl ist, wobei ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ die ersten ${}r$ Primzahlen sind.

Aufgabe

Es sei ${}r\in \mathbb {N}$.

a) Finde ${}r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ${}n,n+1,\ldots ,n+r-1$), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien ${}r$-„Intervalle“.

Aufgabe

Finde eine Darstellung der ${}1$  (im Sinne des Lemmas von Bezout) für die folgenden Zahlenpaare: ${}5$ und ${}7$; ${}20$ und ${}27$; ${}23$ und ${}157$.

Aufgabe

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}7$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe *

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen ${}a$ bzw. ${}b$ ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe *

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}a$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}b$ Litern, wobei ${}a$ und ${}b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige durch Induktion nach ${}n$, dass wenn ${}p$ ein Produkt von ${}n$ Zahlen teilt, dass ${}p$ dann schon eine der Zahlen teilt.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen, deren Produkt ${}ab$ von einer natürlichen Zahl ${}n$ geteilt werde. Die Zahlen ${}n$ und ${}a$ seien teilerfremd. Zeige, dass ${}b$ von ${}n$ geteilt wird.

Aufgabe

Es sei ${}k\geq 2$ eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Sobald ${}k$ ein Produkt ${}ab$ teilt, teilt ${}k$ bereits einen Faktor. Zeige, dass ${}k$ eine Primzahl ist.

Aufgabe

Es seien ${}r$ und ${}s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung ${}(x,y)$ der Gleichung

${}rx+sy=0\,$

die Gestalt ${}(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${}v$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz ${}a^{i}$ mit ${}i\geq 1$ gibt, deren Rest bei Division durch ${}d$ gleich ${}1$ ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 1.25 und betrachte den Rest von ${}a^{j}-a^{i}$ bei Division durch ${}d$. Schließe dann mit Aufgabe 2.24.

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen, also ${}M=\{1,5,9,13,17,{\ldots }\}$. Zeige, dass man ${}441$ innerhalb von ${}M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in ${}M$ nicht weiter zerlegbar sind.

Aufgabe

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${}24$ Stunden, ${}60$ Minuten und ${}60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${}11$ Stunden, ${}11$ Minuten und ${}11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

Aufgabe

Zeige, dass es außer ${}3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form ${}p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Die nächste Aufgabe bezieht sich auf Bemerkung 2.11.

Aufgabe

Zeige, dass es eine gerade Zahl ${}g$, ${}2\leq g\leq 252$, mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen ${}p$ derart gibt, dass auch ${}p+g$ eine Primzahl ist.

Aufgabe

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.

Kommentar:

Die Aufgabe ist provokativ formuliert. Es geht jetzt darum sich genau klar zu machen wie der Beweis durch Widerspruch funktioniert.

Zur Erinnerung: Wir nehmen an, dass eine Aussage ${}A$ nicht gilt. Wir argumentieren mit ${}\neg A$ unter Zuhilfenahme beliebiger bekannter mathematischer Gesetzmäßigkeiten. Wenn wir dadurch einen Widerspruch herleiten können, dann muss ${}A$ gelten.

Es gibt zwei Arten wie man sich vorstellen könnte damit Alles herleiten zu können.

Nehmen wir zunächst das Gegenteil ${}\neg A$ einer beliebigen Aussage ${}A$ an. Wenn ${}A$ wahr ist, dann spricht das nicht gegen das Beweisprinzip wenn wir einen Widerspruch zu ${}\neg A$ finden. Wenn ${}A$ aber falsch ist, dann nehmen wir mit ${}\neg A$ eine wahre Aussage an. Offensichtlich können wir so dann keinen Widerspruch erzeugen.

Nehmen wir nun eine Aussage ${}A\land B$ an die an sich widersprüchlich ist weil sie aus zwei Teilaussagen besteht die sich widersprechen. Dann haben wir natürlich direkt einen Widerspruch gefunden - nach dem Beweisprinzip muss also das Gegenteil ${}\neg (A\land B)$ gelten. Das heißt logisch aber nicht, dass das Gegenteil beider Teilaussagen wahr sein muss, sondern dass nicht beide gleichzeitig wahr sein können. Das heißt also, dass das Gegenteil einer der beiden Aussagen wahr sein muss - mit diesem Beweisversuch konnten wir aber nicht feststellen auf welche davon das zutrifft.

Wir sehen, dass wir keine falschen Aussagen durch den Beweis durch Widerspruch zeigen können.

 

Aufgabe *

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Aufgabe *

1. Löse das folgende Minisudoku

   ${\begin{pmatrix}-&-&2&-\\3&-&-&4\\-&-&-&-\\-&4&-&1\end{pmatrix}}.$

2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?

Aufgabe

In der Schule wird Potenzrechnung durchgenommen und es geht um die Frage, ob

${}a^{b}=b^{a}\,$

ist. Als Gründe, dass dies gelten müsste, werden angeführt:

1. Es gilt ja auch ${}a+b=b+a$ und ${}a\cdot b=b\cdot a$, warum sollte das jetzt plötzlich nicht mehr gelten?
2. Das wäre gut, wenn das gelten würde, dann könnte man die kleinere Zahl immer oben hinschreiben und es wäre einfacher auszurechnen.
3. Wenn man beispielsweise ${}a=2$ und ${}b=4$ nimmt, so ist

   ${}2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16=4\cdot 4=4^{2}\,,$

   warum sollte das für andere Zahlen nicht auch gelten?